Determine
e uma função
polinomial, se possível, de modo que as funções
e
sejam iguais, onde:
, se
e
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função $ f(x) $ definida de duas maneiras:
- Para todo $ x $ diferente de 1, $ f(x) = \frac{x^{5} - 1}{x - 1} $.
- Para $ x = 1 $, $ f(x) = L $.
A questão quer que a gente encontre um valor real $ L $ e uma função polinomial $ g(x) $ tal que $ f $ e $ g $ sejam iguais para todo $ x $. Ou seja, queremos que $ g(x) $ seja uma função polinomial que “preencha” o ponto onde $ f(x) $ estava definido de forma diferente (no caso, em $ x = 1 $).
Vamos precisar usar conceitos de limite e álgebra polinomial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função $ f(x) $ para $ x \neq 1 $:
A gente pode simplificar essa fração fatorando o numerador. Lembra como fatorar $ x^n - 1 $? A gente sabe que $ x^5 - 1 $ pode ser escrito como $ (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) $. Então:
Substituindo de volta na função:
Aqui, o $ x - 1 $ cancela:
Então, para todo $ x $ diferente de 1, $ f(x) $ é um polinômio de quarto grau, que a gente pode chamar de $ g(x) $:
Passo 3
Agora, precisamos garantir que a função $ f(x) $ seja igual a $ g(x) $ também no ponto $ x = 1 $. Para isso, o valor de $ f(1) $ precisa ser igual ao valor de $ g(1) $.
Vamos calcular $ g(1) $:
Portanto, para que $ f $ e $ g $ sejam iguais em todo lugar, incluindo em $ x = 1 $, precisamos que:
Resposta
Então, o valor que $ L $ deve assumir é 5, e a função polinomial $ g(x) $ que iguala $ f(x) $ para todo $ x $ é: