Determine L in R e uma função g: R R polinomial, se possível, de modo que as funções f e g sejam iguais, onde:
f(x)=64-x^6x-2, se x neq 2 e f(x)=L, se x=2 ;

Passo 1

O enunciado define
f(x)= 64 - x^6x - 2,&xneq2, L,&x=2,
e pede para encontrar LinR e um polinômio g:RtoR de modo que f(x)=g(x) para todo x. Aqui temos uma indeterminação do tipo tfrac00 em x=2, então vamos tratar como uma descontinuidade removível, encontrando o limite de 64-x^6x-2 em x=2 e estendendo por continuidade.

Passo 2

Para simplificar tfrac64-x^6x-2, fatoramos o numerador usando diferença de quadrados e diferença de cubos:
64 - x^6 = (8)^2 - (x^3)^2 = (8 - x^3)(8 + x^3)
Em seguida,
8 - x^3 = -(x^3 - 8) = -(x-2)(x^2 + 2x + 4),
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64 - x^6 = -(x-2)(x^2 + 2x + 4)(x^3 + 8)

Passo 3

Como xneq2, podemos cancelar o fator x-2 no numerador e denominador, obtendo
64 - x^6x-2 = -l(x^2 + 2x + 4r),l(x^3 + 8r)
Portanto definimos o polinômio
g(x) = -l(x^2 + 2x + 4r),l(x^3 + 8r),
que é de grau 5.

Passo 4

Para que f coincida com g em x=2, escolhemos
L = limxto264-x^6x-2 = g(2)
Calculando
g(2) = -l(2^2 + 2cdot2 + 4r),l(2^3 + 8r) = -l(4 + 4 + 4r),l(8 + 8r) = -12 cdot 16 = -192

Resposta

L = -192
g(x) = -l(x^2 + 2x + 4r),l(x^3 + 8r) = -x^5 - 2x^4 - 4x^3 - 8x^2 - 16x - 32

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