Determine
e uma função
polinomial, se possível, de modo que as funções
e
sejam iguais, onde:
se
e
Passo 1
Temos a função f definida por partes e queremos estendê-la como um polinômio g contínuo em todo ℝ. O conteúdo aqui é reconhecer uma descontinuidade removível, fatorar o numerador (diferença de cubos) e simplificar a expressão racional para obter um polinômio.
Passo 2
Vamos fatorar o numerador usando a identidade de diferença de cubos:
.
Substituindo na expressão de para
, temos:
Substituindo na expressão de
Como
, cancelamos o fator
e obtemos
Passo 3
Logo, para todo
, a função
coincide com o polinômio
.
Para remover a descontinuidade e fazer igual a
em
, escolhemos
. Calculando:
Para remover a descontinuidade e fazer
Resposta
L = -\tfrac{3}{8}, g(x) = -\tfrac12x^2 - \tfrac14x - \tfrac18