Determine L in R e uma função g: R R polinomial, se possível, de modo que as funções f e g sejam iguais, onde:
f(x)=x^3-181-2 x se x neq 12 e
f(x)=L, se x=12

Passo 1

Temos a função f definida por partes e queremos estendê-la como um polinômio g contínuo em todo ℝ. O conteúdo aqui é reconhecer uma descontinuidade removível, fatorar o numerador (diferença de cubos) e simplificar a expressão racional para obter um polinômio.

Passo 2

Vamos fatorar o numerador usando a identidade de diferença de cubos: x^3 - l(tfrac12r)^3 = (x-tfrac12),(x^2 + tfrac12x + tfrac14).
Substituindo na expressão de f(x) para xneq tfrac12, temos:
x^3 - tfrac181 - 2x = (x-tfrac12)(x^2 + tfrac12x + tfrac14)1 - 2x
Como 1 - 2x = -2(x - tfrac12), cancelamos o fator x - tfrac12 e obtemos
x^3 - tfrac181 - 2x = x^2 + tfrac12x + tfrac14-2 = -tfrac12x^2 - tfrac14x - tfrac18

Passo 3

Logo, para todo xneq tfrac12, a função f(x) coincide com o polinômio g(x) = -tfrac12x^2 - tfrac14x - tfrac18.
Para remover a descontinuidade e fazer f igual a g em x=tfrac12, escolhemos L = limxtotfrac12f(x) = g(tfrac12). Calculando:
gl(tfrac12r) = -tfrac12l(tfrac12r)^2 - tfrac14l(tfrac12r) - tfrac18 = -tfrac12cdottfrac14 - tfrac14cdottfrac12 - tfrac18 = -tfrac18 - tfrac18 - tfrac18 = -tfrac38

Resposta

L = -\tfrac{3}{8}, g(x) = -\tfrac12x^2 - \tfrac14x - \tfrac18

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