Sem utilizar recursos gráficos, desenhe os gráficos das funções.

Passo 1

O enunciado pede pra desenhar o gráfico de g(x)=ln(x^2−4) sem usar recurso gráfico. O conteúdo envolve funções logarítmicas compostas com quadrática, então vamos precisar estudar domínio, simetria, assíntotas, comportamento nas extremidades e derivadas pra entender monotonia e concavidade.

Passo 2

Precisamos que o argumento de ln seja positivo. Então achamos o domínio resolvendo x^2−4>0. Isso dá x^2>4, logo x<−2 ou x>2. Observe também que g é função par, pois depende de x^2, logo o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 3

As fronteiras do domínio x=±2 são assíntotas verticais, pois quando x→2^+ ou x→−2^− temos x2−4→0+ e ln→−∞. Para o comportamento em |x|→∞, note que ln(x2−4)≈ln(x2)=2ln|x|, que cresce sem limite. Logo não há assíntota horizontal: g(x)→+∞ conforme x→±∞.

Passo 4

A derivada é g’(x)=2x/(x^2−4). No ramo x>2 temos g’>0, então g é crescente ali; no ramo x<−2 temos g’<0, então g é decrescente ali. A segunda derivada é g’’(x)=−2(x2+4)/(x2−4)^2, que é sempre negativa no domínio, indicando concavidade para baixo em ambos os ramos.

Passo 5

Para achar interceptos com o eixo x, resolvemos g(x)=0 ⇒ ln(x^2−4)=0 ⇒ x^2−4=1 ⇒ x=±√5≈±2,236. Esses são os únicos pontos onde o gráfico cruza y=0. Com tudo isso, desenhe duas curvas simétricas: no ramo esquerdo vindo de +∞ em x→−∞, decrescendo e indo a −∞ em x→−2; e no direito, partindo de −∞ em x→2,236 cruzando em ln=0, crescendo e indo a +∞ em x→+∞, sempre com concavidade voltada para baixo.

Resposta

Duas curvas simétricas em torno do eixo y, definidas apenas para x<−2 e x>2, com assíntotas verticais em x=−2 e x=2, monotonia decrescente para x<−2 e crescente para x>2, concavidade para baixo em todo o domínio e cruzando o eixo x nos pontos x=±√5.

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