Determine L para que a função f(x)= raizx-raiz11raizx+11-raiz22, & x neq 11 L & x=11 seja contínua em p=11.

Passo 1

O enunciado define a função por partes e pede o valor de L para que ela seja contínua em p=11. O conteúdo aqui é continuidade de funções definidas por partes e limites de forma indeterminada, e vamos precisar usar a técnica de multiplicar pelo conjugado para eliminar a indeterminação.

Passo 2

Para obter L devemos calcular limxto11f(x). Substituindo diretamente em f(x)=raizx-raiz11raizx+11-raiz22 com x=11, vemos que o numerador e o denominador viram zero, ou seja, temos a forma indeterminada 0/0.
Para eliminar a indeterminação, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Em outras palavras, consideramos
[\frac{\sqrt{x}-\sqrt{11}}{\sqrt{x+11}-\sqrt{22}}\cdot\frac{\sqrt{x+11}+\sqrt{22}}{\sqrt{x+11}+\sqrt{22}}].

Passo 3

No denominador o produto com o conjugado produz uma diferença de quadrados:
[ (\sqrt{x+11}-\sqrt{22})(\sqrt{x+11}+\sqrt{22}) = (x+11)-22 = x-11 ]
No numerador temos (raizx-raiz11)(raizx+11+raiz22). Assim a fração fica
[ \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{11})(\sqrt{x+11}+\sqrt{22})}{x-11} ].

Passo 4

Repare que raizx-raiz11 e x-11 permitem o cancelamento via fatorização:
[ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{11}}{x-11} = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{11}} ],
logo
[ f(x) = \frac{\sqrt{x+11}+\sqrt{22}}{\sqrt{x}+\sqrt{11}} ].

Passo 5

Agora basta avaliar o limite quando xto11. Substituindo: no numerador aparece raiz22+raiz22=2raiz22 e no denominador raiz11+raiz11=2raiz11. O quociente é
[ \frac{2\sqrt{22}}{2\sqrt{11}} = \frac{\sqrt{22}}{\sqrt{11}} = \sqrt{2} ].

Resposta

L = raiz2

Exercícios relacionados