Determine
para que a função
seja contínua em
.
Passo 1
O enunciado define a função por partes e pede o valor de L para que ela seja contínua em p=11. O conteúdo aqui é continuidade de funções definidas por partes e limites de forma indeterminada, e vamos precisar usar a técnica de multiplicar pelo conjugado para eliminar a indeterminação.
Passo 2
Para obter L devemos calcular
. Substituindo diretamente em
com
, vemos que o numerador e o denominador viram zero, ou seja, temos a forma indeterminada
.
Para eliminar a indeterminação, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Em outras palavras, consideramos
[\frac{\sqrt{x}-\sqrt{11}}{\sqrt{x+11}-\sqrt{22}}\cdot\frac{\sqrt{x+11}+\sqrt{22}}{\sqrt{x+11}+\sqrt{22}}].
Para eliminar a indeterminação, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Em outras palavras, consideramos
[\frac{\sqrt{x}-\sqrt{11}}{\sqrt{x+11}-\sqrt{22}}\cdot\frac{\sqrt{x+11}+\sqrt{22}}{\sqrt{x+11}+\sqrt{22}}].
Passo 3
No denominador o produto com o conjugado produz uma diferença de quadrados:
[ (\sqrt{x+11}-\sqrt{22})(\sqrt{x+11}+\sqrt{22}) = (x+11)-22 = x-11 ]
No numerador temos . Assim a fração fica
[ \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{11})(\sqrt{x+11}+\sqrt{22})}{x-11} ].
[ (\sqrt{x+11}-\sqrt{22})(\sqrt{x+11}+\sqrt{22}) = (x+11)-22 = x-11 ]
No numerador temos
[ \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{11})(\sqrt{x+11}+\sqrt{22})}{x-11} ].
Passo 4
Repare que
e
permitem o cancelamento via fatorização:
[ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{11}}{x-11} = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{11}} ],
logo
[ f(x) = \frac{\sqrt{x+11}+\sqrt{22}}{\sqrt{x}+\sqrt{11}} ].
[ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{11}}{x-11} = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{11}} ],
logo
[ f(x) = \frac{\sqrt{x+11}+\sqrt{22}}{\sqrt{x}+\sqrt{11}} ].
Passo 5
Agora basta avaliar o limite quando
. Substituindo: no numerador aparece
e no denominador
. O quociente é
[ \frac{2\sqrt{22}}{2\sqrt{11}} = \frac{\sqrt{22}}{\sqrt{11}} = \sqrt{2} ].
[ \frac{2\sqrt{22}}{2\sqrt{11}} = \frac{\sqrt{22}}{\sqrt{11}} = \sqrt{2} ].
Resposta
L =