Mostre que o conjunto de valores de log (raizi) é (n+14) pi i, forall n in Z.

Passo 1

O enunciado quer o conjunto de todas as possíveis valores de logl(raizir). Aqui estamos em análise complexa de funções multivaloradas, então vamos usar a forma polar de i, as definições de raiz quadrada e de logaritmo complexo multivalorado.

Passo 2

Escrevemos i em forma exponencial multivalorada. Como i tem módulo 1 e argumento principal tfracpi2, temos para todo kinZ:
i = e^,il(tfracpi2 + 2pi kr)

Passo 3

Aplicamos a raiz quadrada, dividindo o expoente por 2. Logo as duas (bem, na verdade infinitas via k) raízes de i são
raizi = e^,tfraci2l(tfracpi2+2pi kr) = e^,il(tfracpi4 + pi kr), kinZ

Passo 4

Agora calculamos o logaritmo multivalorado de cada valor de raizi. Para w=e^itheta temos log w = ln|w| + i(theta + 2pi m). Aqui |w|=1, então ln|w|=0 e
logl(raizir) = il(tfracpi4 + pi kr) + 2pi i,m, k,minZ

Passo 5

Reagrupamos os inteiros k e m. Seja n = k + 2m, que percorre todo Z. Assim
logl(raizir) = il(tfracpi4 + pi nr) = pi il(n + tfrac14r), ninZ

Resposta

O conjunto de valores de log(raizi) é
lpi il(n + tfrac14r)mid ninZr

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