Determine a função eta(x) que satisfaz as condições abaixo.
y^prime(x)=1+tan ^2(x), y(0)=2

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
y'(x)=1+tan^2(x)
com condição inicial y(0)=2. Para resolver, basta reconhecer que podemos integrar em x ambos os lados da equação.

Passo 2

Observamos que
1+tan^2(x)=sec^2(x)
Logo, integrando
integral y'(x),dx=integralsec^2(x),dx
resulta em
y(x)=tan(x)+C,
onde C é constante de integração.

Passo 3

Usamos a condição inicial y(0)=2:
tan(0)+C=2 Longrightarrow 0+C=2 Longrightarrow C=2

Resposta

eta(x)=tan(x)+2

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