(Ex 3.2) Um campo elétrico no espaço livre é dado pela seguinte expressão: E= ( 5 z^{2} / \varepsilon 0 ) âz V/m. Determine a carga total contida no interior de um cubo centrado na origem e com lado de 4 m , no qual todos os lados são paralelos aos eixos coordenados (e, em consequência onde cada lado intercepta um eixo em \pm 2 ).

Passo 1

O enunciado nos dá um campo elétrico no espaço livre
\displaystyle \mathbf{E}=\frac{5\,z^{2}}{\epsilon_{0}}\,\mathbf{\hat{a}}_{z}
e pede a carga total contida no interior de um cubo centrado na origem, de lado 4\text{ m} (ou seja, -2\le x,y,z\le2).
Conteúdo: vamos usar a forma diferencial da Lei de Gauss, relacionando divergência de \mathbf{E} à densidade volumétrica de carga \rho.

Passo 2

A forma diferencial da Lei de Gauss diz:
\nabla\!\cdot\!\mathbf{E} \;=\;\frac{\rho}{\epsilon_{0}}.
Isso significa que podemos obter
\displaystyle \rho = \epsilon_{0}\,\nabla\!\cdot\!\mathbf{E}.

Passo 3

Como \mathbf{E} tem só componente em z, sua divergência é
\nabla\!\cdot\!\mathbf{E} =\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\frac{5\,z^{2}}{\epsilon_{0}}\Bigr) =\frac{10\,z}{\epsilon_{0}}.
Logo
\rho = \epsilon_{0}\,\frac{10\,z}{\epsilon_{0}} =10\,z.

Passo 4

A carga total Q é a integral de \rho sobre o volume do cubo:
Q=\int_{V}\rho\,dV =\int_{-2}^{2}\!\int_{-2}^{2}\!\int_{-2}^{2}10\,z\;dx\,dy\,dz.

Passo 5

Primeiro integramos em x e y, cada um sobre intervalo de comprimento 4, dando fator 4\cdot4=16. Portanto
Q=10\cdot16\int_{-2}^{2}z\,dz =160\bigl[\tfrac{z^{2}}{2}\bigr]_{-2}^{2} =160\bigl(2-2\bigr)=0.

Resposta

A carga total no interior do cubo é 0\;\mathrm{C}.

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