(Ex 3.5) Seja \mathbf{D}=4 x y \mathbf{a}_{x}+2(x 2+z 2) \mathbf{a}_{y}+4 y z \mathbf{a}_{z} C / m^{2}. Calcule as integrais de superfície para encontrar a carga total dentro do paralelepípedo retangular 0<x <2,0<y<3,0<z<5 m.

Passo 1

O enunciado dá o vetor densidade de fluxo elétrico
\mathbf{D} = 4\,x\,y\,\mathbf{a}_{x} + 2\bigl(x^{2}+z^{2}\bigr)\mathbf{a}_{y} + 4\,y\,z\,\mathbf{a}_{z}\n
e pede a carga total contida no paralelepípedo definido por
0 < x < 2,\quad 0 < y < 3,\quad 0 < z < 5.
Para resolver, usamos o Teorema da Divergência (ou Gauss):
Q_{\text{total}} = \iint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{D})\,dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de \mathbf{D}:
\nabla\cdot\mathbf{D} = \frac{\partial}{\partial x}(4xy) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl[2(x^{2}+z^{2})\bigr] + \frac{\partial}{\partial z}(4yz).
Derivando cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}(4xy)=4y, \quad \frac{\partial}{\partial y}\bigl[2(x^{2}+z^{2})\bigr]=0, \quad \frac{\partial}{\partial z}(4yz)=4y.
Logo
\nabla\cdot\mathbf{D} = 4y + 0 + 4y = 8y.

Passo 3

Aplicamos o Teorema da Divergência:
Q_{\text{total}} = \iiint_{V} 8y \,dV = \int_{x=0}^{2}\!\int_{y=0}^{3}\!\int_{z=0}^{5} 8y \,dz\,dy\,dx.

Passo 4

Integramos em z primeiro:
\int_{z=0}^{5}8y\,dz = 8y\cdot 5 = 40y.
Então
Q_{\text{total}} = \int_{x=0}^{2}\!\int_{y=0}^{3} 40y \,dy\,dx = \int_{x=0}^{2}\Bigl[\int_{y=0}^{3}40y\,dy\Bigr]dx.
Calculando a integral em y:
\int_{y=0}^{3}40y\,dy = 40\cdot \frac{y^{2}}{2}\Big|_{0}^{3} = 20\cdot 9 = 180.
Logo
Q_{\text{total}} = \int_{x=0}^{2} 180 \,dx = 180 \times 2 = 360.

Resposta

A carga total dentro do paralelepípedo é 360\;\text{C}.

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