Determine m e n, para que a função mu(x, y)=x^m y^n seja um fator integrante para a e.d.o. abaixo e a seguir resolva-a.
(y^2 cos x) d x+(4+5 y sen x) d y=0

Passo 1

O enunciado pede determinar m e n para que mu(x,y)=x^my^n seja fator integrante da equação
l(y^2cos xr),dx + l(4+5ysin xr),dy = 0
Para isso, vamos usar a condição de exatidão
partialpartial yl(mu Mr) =partialpartial xl(mu Nr)
onde M=y^2cos x e N=4+5ysin x.

Passo 2

Calculemos mu M e mu N:
mu M = x^my^ncdot y^2cos x = x^my^n+2cos x,
mu N = x^my^nl(4+5ysin xr) =4x^my^n + 5x^my^n+1sin x
Então
partialpartial y(mu M) = (n+2),x^my^n+1cos x,
partialpartial x(mu N) =4m,x^m-1y^n +5m,x^m-1y^n+1sin x +5,x^my^n+1cos x
Igualando e dividindo por x^m-1y^n (assumindo x,yneq0) obtemos
(n+2),x,ycos x ;=;4m ;+;5m,ysin x;+;5x,ycos x
Para que isto seja identidade em x,y, precisamos de
n+2=5 e m=0
Logo
m=0, n=3

Passo 3

Com m=0 e n=3, o fator integrante é mu=y^3. Multiplicando a equação original por y^3 vem
y^5cos x,dx + l(4y^3+5y^4sin xr),dy = 0,
que agora é exata.

Passo 4

Procuramos Phi(x,y) tal que
Phix=y^5cos x, Phiy=4y^3+5y^4sin x
Integramos Phix em x:
Phi(x,y)=integral y^5cos x,dx = y^5sin x + h(y)
Derivando em y e igualando a Phiy:
Phiy=5y^4sin x + h'(y) =4y^3+5y^4sin x ;Longrightarrow; h'(y)=4y^3 ;Longrightarrow; h(y)=y^4
Logo
Phi(x,y)=y^5sin x + y^4

Resposta

m=0, n=3,
e a solução geral em forma implícita é
y^5sin x + y^4 = C

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