Determine a função y=y(x), x in R, tal que
d yd x=3+1x e y(1)=2

Passo 1

Então, vamos resolver um problema de cálculo onde a gente precisa encontrar uma função y = y(x) que, quando derivada em relação a x , dá dydx = 3 + 1x . Além disso, sabemos que quando x = 1 , o valor de y é 2. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que dydx = 3 + 1x significa que a taxa de variação de y em relação a x é igual a 3 + 1x . Para achar y(x) , precisamos integrar essa expressão em relação a x .

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral dydx , dx = integral (3 + 1x) dx
Isso simplifica para:
y(x) = integral 3 , dx + integral 1x , dx

Passo 4

Calculando as integrais:
  1. integral 3 , dx = 3x + C1
  2. integral 1x , dx = ln|x| + C2
Juntando as duas partes, temos:
y(x) = 3x + ln|x| + C
Aqui, C = C1 + C2 é a constante de integração.

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial y(1) = 2 para encontrar o valor de C :
2 = 3(1) + ln|1| + C
Sabemos que ln(1) = 0 , então fica:
2 = 3 + 0 + C implies C = 2 - 3 = -1

Resposta

Portanto, a função que satisfaz as condições dadas é:
y(x) = 3x + ln|x| - 1

Exercícios relacionados