Verifique se as equações abaixo são exatas e resolva-as:
(x^2+y^2) d x+(x^2-x y) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(x^2+y^2r),dx + l(x^2-x,yr),dy = 0
e pede para verificar se é exata e, em caso negativo, resolver-se. Aqui o conteúdo é equações homogêneas de grau 2 e uso da substituição y=z,x.

Passo 2

Verificamos exatidão calculando
M(x,y)=x^2+y^2, N(x,y)=x^2-x,y,
partial Mpartial y=2y, partial Npartial x=2x - y
Como 2yneq 2x - y, a equação não é exata. Porém M e N são homogêneos de grau 2, então a equação é homogênea.

Passo 3

Fazemos a substituição homogênea
y = z,x, dy = x,dz + z,dx,
e dividimos toda a equação por x^2, obtendo
l(1 + z^2r),dx + l(1 - zr)l(x,dz + z,dxr)=0

Passo 4

Expandindo e reunindo termos em dx e dz:
(1+z^2 + z(1-z)),dx + x(1-z),dz = 0 ;Longrightarrow;(1+z),dx + x(1-z),dz=0
Isso pode ser escrito como forma separável:
dxx = -,1-z1+z,dz

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral dxx = -integral 1-z1+z,dz
Note que
1-z1+z = -1 + 21+z,
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lnlvert xrvert = -l(-z + 2lnlvert1+zrvertr) + C = z - 2lnlvert1+zrvert + C

Passo 6

Voltando a z=y/x,
lnlvert xrvert + yx - 2lnllvert 1+yxrrvert = C
Reescrevendo os logaritmos:
3lnlvert xrvert - 2lnlvert x+yrvert + yx = C ;Longrightarrow; ln!l(x^3(x+y)^2r) + yx = C
Exponenciando e absorvendo constantes,
x^3(x+y)^2,e^,y/x = C1

Resposta

x^3(x+y)^2,e^,y/x = C

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