Determine se a função T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada é uma transformação linear ou não. Caso seja, encontre a matriz A tal que T(X)=A X para cada X=\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right). Caso não seja, explique por que não é. T(x, y, z)=\left(x+y, x^{2}-z, x-2 y\right);
Passo 1
O enunciado define T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por
T(x,y,z) = \bigl(x+y,\;x^2 - z,\;x - 2y\bigr).
Queremos saber se T é linear; em caso afirmativo, encontrar a matriz A tal que T(X)=AX. Caso contrário, explicar por que não é linear.
Passo 2
Lembrando que T é linear se, e somente se, para todos X,Y\in\mathbb{R}^3 e todo escalar \alpha, vale
T(X+Y)=T(X)+T(Y) (aditividade)
T(\alpha X)=\alpha\,T(X) (homogeneidade)
Passo 3
Basta exibir um contraexemplo à homogeneidade. Seja