Determine se a função T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada é uma transformação linear ou não. Caso seja, encontre a matriz A tal que T(X)=A X para cada X=\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right). Caso não seja, explique por que não é.
T(x, y, z)=\left(x+y, x^{2}-z, x-2 y\right);

Passo 1

O enunciado define
T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por
T(x,y,z) = \bigl(x+y,\;x^2 - z,\;x - 2y\bigr).
Queremos saber se T é linear; em caso afirmativo, encontrar a matriz A tal que T(X)=AX. Caso contrário, explicar por que não é linear.

Passo 2

Lembrando que T é linear se, e somente se, para todos X,Y\in\mathbb{R}^3 e todo escalar \alpha, vale
  1. T(X+Y)=T(X)+T(Y) (aditividade)
  2. T(\alpha X)=\alpha\,T(X) (homogeneidade)

Passo 3

Basta exibir um contraexemplo à homogeneidade. Seja
X = (1,0,0),\quad \alpha = 2.
Então
T(2X) = T(2,0,0) = \bigl(2+0,\;2^2-0,\;2-0\bigr) = (2,4,2),
porém
2\,T(X) = 2\,(1+0,\;1^2-0,\;1-0) = 2\,(1,1,1) = (2,2,2).
Como (2,4,2)\neq(2,2,2), temos T(2X)\neq2\,T(X). Logo, T não satisfaz homogeneidade.

Resposta

T não é uma transformação linear, pois a componente x^2 faz com que falhe a propriedade T(\alpha X)=\alpha\,T(X).

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