Determine se a função T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada é uma transformação linear ou não. Caso seja, encontre a matriz A tal que T(X)=A X para cada X=\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right). Caso não seja, explique por que não é.
T(x, y, z)=(3 x-y+2, x+3 z,-2).

Passo 1

O enunciado define uma aplicação
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z) = (\,3x - y + 2,\;x + 3z,\;-2\,).
Queremos checar se T é linear e, em caso afirmativo, encontrar a matriz A tal que T(X)=AX.

Passo 2

Recall: uma transformação T é linear se e somente se ela preserva soma e produto por escalar, o que implica em particular
T(0,0,0) = (0,0,0).

Passo 3

Calculemos
T(0,0,0) = \bigl(3\cdot0 - 0 + 2,\;0 + 3\cdot0,\;-2\bigr) = (2,0,-2).
Observamos que (2,0,-2)\neq(0,0,0).

Passo 4

Como T(0,0,0)\neq(0,0,0), a aplicação não preserva o vetor zero e, portanto, não é linear.

Resposta

A aplicação T não é linear, pois falha a condição T(0)=0.

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