Determine se a função T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada é uma transformação linear ou não. Caso seja, encontre a matriz A tal que T(X)=A X para cada X=\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right). Caso não seja, explique por que não é.
T(x, y, z)=(5 x-6 y, 0,-x+3 y-7 z);

Passo 1

O enunciado define T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por
T(x,y,z) = (5x - 6y,\;0,\;-x + 3y - 7z).
Queremos ver se T é linear (isto é, se satisfaz aditividade e homogeneidade) e, em caso afirmativo, encontrar a matriz A tal que
T(X)=A\,X
para todo X\in\mathbb{R}^3.

Passo 2

Para verificar linearidade, tomemos X=(x,y,z) e Y=(x',y',z') e um escalar \alpha. Então
T(X+Y) = T(x+x',\,y+y',\,z+z') = \bigl(5(x+x')-6(y+y'),\,0,\,-(x+x')+3(y+y')-7(z+z')\bigr).
Por distribuição isso se separa em
(5x-6y,0,-x+3y-7z) + (5x'-6y',0,-x'+3y'-7z') = T(X) + T(Y).
E
T(\alpha X) = T(\alpha x,\alpha y,\alpha z) = \bigl(5\alpha x -6\alpha y,\,0,\,-\alpha x+3\alpha y-7\alpha z\bigr) = \alpha\,T(X).
Como T preserva soma e escalar, é de fato uma transformação linear.

Passo 3

Para achar a matriz de T, calculamos T nas imagens dos vetores da base canônica:
e_1=(1,0,0),\quad e_2=(0,1,0),\quad e_3=(0,0,1).
Temos
T(e_1) = (5\cdot1 -6\cdot0,\;0,\;-1+3\cdot0-7\cdot0) = (5,0,-1),
T(e_2) = (5\cdot0 -6\cdot1,\;0,\;-0+3\cdot1-7\cdot0) = (-6,0,3),
T(e_3) = (5\cdot0 -6\cdot0,\;0,\;-0+3\cdot0-7\cdot1) = (0,0,-7).

Passo 4

A matriz A que representa T na base canônica tem como colunas as imagens T(e_1), T(e_2) e T(e_3). Logo,
A = \begin{pmatrix} 5 & -6 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ -1 & 3 & -7 \end{pmatrix}.

Resposta

A transformação é linear e sua matriz na base canônica é
A = \begin{pmatrix} 5 & -6 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ -1 & 3 & -7 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados