Determine se a função T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada é uma transformação linear ou não. Caso seja, encontre a matriz A tal que T(X)=A X para cada X=\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right). Caso não seja, explique por que não é. T(x, y, z)=(5 x-6 y, 0,-x+3 y-7 z);
Passo 1
O enunciado define T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por
T(x,y,z) = (5x - 6y,\;0,\;-x + 3y - 7z).
Queremos ver se T é linear (isto é, se satisfaz aditividade e homogeneidade) e, em caso afirmativo, encontrar a matriz A tal que
T(X)=A\,X
para todo X\in\mathbb{R}^3.
Passo 2
Para verificar linearidade, tomemos X=(x,y,z) e Y=(x',y',z') e um escalar \alpha. Então