Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma transformação linear tal que
T(x, y, z)=(x+y+2 z,-x+z,-3 x-y)
(a) Ache a matriz A de T em relação à base canônica de \mathbb{R}^{3}, ou seja, a matriz A tal que T(X)=A X para todo X=\left(\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right). (valor: 1 ponto)
(b) Ache uma base do núcleo e uma base da imagem da transformação T. (valor: 1,5 ponto)
(c) Quais são o posto e a nulidade de T ? Justifique. (valor: 0,5 ponto)

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 via
T(x,y,z) = (x + y + 2z,\,-x + z,\,-3x - y).
Precisamos:
  1. Encontrar a matriz A de T na base canônica de \mathbb{R}^3.
  2. Determinar uma base do núcleo ( \ker T) e uma base da imagem ( \operatorname{Im}T).
  3. Obter o posto e a nulidade de T e justificar.

Passo 2

Para achar a matriz A, calculamos T em cada vetor da base canônica:
e_1 = (1,0,0),\quad e_2 = (0,1,0),\quad e_3 = (0,0,1).
Temos
T(e_1) = T(1,0,0) = (1, -1, -3),
T(e_2) = T(0,1,0) = (1, 0, -1),
T(e_3) = T(0,0,1) = (2, 1, 0).
Colocando esses vetores como colunas, a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ -1 & 0 & 1\\\\ -3 & -1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para encontrar \ker T\), resolvemos \(A(x,y,z)^{T} = 0\), isto é o sistema \[\begin{cases} x + y + 2z = 0,\\\\ -\,x + z = 0,\\\\ -\,3x - y = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem z = x\]. Da terceira equação vem \(y = -3x.
Substituindo em x + y + 2z = x -3x +2x = 0, que é identicamente satisfeita.
Logo (x,y,z) = (x,-3x,x) = x\,(1,-3,1).
Portanto
\ker T = \{\,t(1,-3,1)\mid t\in\mathbb{R}\},
e uma base de \ker T é \{(1,-3,1)\}.

Passo 4

A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A:
c_1 = (1,-1,-3),\quad c_2 = (1,0,-1),\quad c_3 = (2,1,0).
Verificamos que c_1 e c_2 são linearmente independentes e que
c_3 = -1\cdot c_1 + 3\cdot c_2.
Logo \{c_1,c_2\} é base de \operatorname{Im}T. Assim
\operatorname{Im}T = \mathrm{span}\{(1,-1,-3),\,(1,0,-1)\}.

Passo 5

Pela definição, o posto de T é \dim(\operatorname{Im}T)=2 e a nulidade é \dim(\ker T)=1.
Verificamos que \dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im}T)=1+2=3, em concordância com o Teorema do Núcleo e Imagem.

Resposta

(a)
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ -1 & 0 & 1\\\\ -3 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
(b) Base do núcleo: \{(1,-3,1)\}.
Base da imagem: \{(1,-1,-3),\,(1,0,-1)\}.
(c) \mathrm{posto}(T)=2 e \mathrm{nulidade}(T)=1, pois \dim(\ker T)=1 e \dim(\operatorname{Im}T)=2.

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