Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma transformação linear tal que
T(x, y, z)=(x+y+2 z,-x+z,-3 x-y)
(a) Ache a matriz A de T em relação à base canônica de \mathbb{R}^{3}, ou seja, a matriz A tal que T(X)=A X para todo X=\left(\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right). (valor: 1 ponto)
(b) Ache uma base do núcleo e uma base da imagem da transformação T. (valor: 1,5 ponto)
(c) Quais são o posto e a nulidade de T ? Justifique. (valor: 0,5 ponto)
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 via
T(x,y,z) = (x + y + 2z,\,-x + z,\,-3x - y).
Precisamos:
Encontrar a matriz A de T na base canônica de \mathbb{R}^3.
Determinar uma base do núcleo (\ker T) e uma base da imagem (\operatorname{Im}T).
Obter o posto e a nulidade de T e justificar.
Passo 2
Para achar a matriz A, calculamos T em cada vetor da base canônica:
Para encontrar \ker T\), resolvemos \(A(x,y,z)^{T} = 0\), isto é o sistema
\[\begin{cases} x + y + 2z = 0,\\\\ -\,x + z = 0,\\\\ -\,3x - y = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem z = x\].
Da terceira equação vem \(y = -3x.
Substituindo em x + y + 2z = x -3x +2x = 0, que é identicamente satisfeita.
Logo (x,y,z) = (x,-3x,x) = x\,(1,-3,1).
Portanto
\ker T = \{\,t(1,-3,1)\mid t\in\mathbb{R}\},
e uma base de \ker T é \{(1,-3,1)\}.
Passo 4
A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A:
Pela definição, o posto de T é \dim(\operatorname{Im}T)=2 e a nulidade é \dim(\ker T)=1.
Verificamos que \dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im}T)=1+2=3, em concordância com o Teorema do Núcleo e Imagem.