Determine se a função T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada é uma transformação linear ou não. Caso seja, encontre a matriz A tal que T(X)=A X para cada X=\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right). Caso não seja, explique por que não é. (Valor total: 1,5 ponto)
T(x, y, z)=(3 x-y, 0, x+3 y-z);

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação T\colon \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z) = (\,3x - y,\;0,\;x + 3y - z\,).
O que precisamos é (1) verificar se T satisfaz as propriedades de linearidade e, em caso afirmativo, (2) encontrar a matriz A tal que
T(X) = A\,X
para todo X=(x,y,z)^T.

Passo 2

Para T ser linear, deve valer
\displaystyle T(U+V)=T(U)+T(V) e \displaystyle T(c\,U)=c\,T(U).
Sejam U=(x_1,y_1,z_1) e V=(x_2,y_2,z_2). Então
U+V = (\,x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2\,)
e
T(U+V) = \bigl(3(x_1+x_2)-(y_1+y_2),\;0,\;(x_1+x_2)+3(y_1+y_2)-(z_1+z_2)\bigr)
= \bigl((3x_1-y_1)+(3x_2-y_2),\;0,\;(x_1+3y_1-z_1)+(x_2+3y_2-z_2)\bigr) = T(U)+T(V).
Para c\in\mathbb{R},
T(c\,U) = \bigl(3(c x_1)-c y_1,\;0,\;c x_1+3c y_1-c z_1\bigr) = c\,(3x_1-y_1,\,0,\,x_1+3y_1-z_1) = c\,T(U).
Logo, T é linear.

Passo 3

A matriz A associada a T tem colunas dadas por T(e_1),T(e_2),T(e_3), onde
\;e_1=(1,0,0),\;e_2=(0,1,0),\;e_3=(0,0,1).
Calculando:
T(e_1) = (3\cdot1-0,\;0,\;1+3\cdot0-0) = (3,0,1), \quad T(e_2) = (3\cdot0-1,\;0,\;0+3\cdot1-0) = (-1,0,3),
T(e_3) = (3\cdot0-0,\;0,\;0+3\cdot0-1) = (0,0,-1).
Portanto,
A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}.

Resposta

A matriz que representa T é
A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados