Determine se a função T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada é uma transformação linear ou não. Caso seja, encontre a matriz A tal que T(X)=A X para cada X=\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right). Caso não seja, explique por que não é. (Valor total: 1,5 ponto) T(x, y, z)=(3 x-y, 0, x+3 y-z);
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação T\colon \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z) = (\,3x - y,\;0,\;x + 3y - z\,).
O que precisamos é (1) verificar se T satisfaz as propriedades de linearidade e, em caso afirmativo, (2) encontrar a matriz A tal que
T(X) = A\,X
para todo X=(x,y,z)^T.
Passo 2
Para T ser linear, deve valer \displaystyle T(U+V)=T(U)+T(V) e \displaystyle T(c\,U)=c\,T(U).
Sejam U=(x_1,y_1,z_1) e V=(x_2,y_2,z_2). Então