Determine se a função T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada é uma transformação linear ou não. Caso seja, encontre a matriz A tal que T(X)=A X para cada X=\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right). Caso não seja, explique por que não é. (Valor total: 1,5 ponto)
T(x, y, z)=\left(x+y, x-y, x^{2}-z^{2}\right);

Passo 1

O enunciado define T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} por
T(x,y,z)=(x+y,\;x-y,\;x^{2}-z^{2}).
Queremos verificar se T é linear, ou seja, se satisfaz
  1. aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v) para todo u,v,
  2. homogeneidade: T(c\,u)=c\,T(u) para todo escalar c.
    Se fosse linear, deveríamos encontrar uma matriz A tal que T(X)=AX.

Passo 2

Testamos a homogeneidade em um caso simples. Seja v=(1,0,0) e c=2. Então
T(1,0,0)=(1+0,\;1-0,\;1^{2}-0^{2})=(1,1,1),
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2\,T(1,0,0)=(2,2,2).
Por outro lado,
T(2\cdot(1,0,0))=T(2,0,0)=(2+0,\;2-0,\;2^{2}-0^{2})=(2,2,4).
Como (2,2,4)\neq(2,2,2), falha a propriedade T(c\,v)=c\,T(v).

Resposta

A transformação T não é linear, pois não satisfaz homogeneidade.

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