Determine se a função T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada é uma transformação linear ou não. Caso seja, encontre a matriz A tal que T(X)=A X para cada X=\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right). Caso não seja, explique por que não é. (Valor total: 1,5 ponto) T(x, y, z)=\left(x+y, x-y, x^{2}-z^{2}\right);
Passo 1
O enunciado define T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} por
T(x,y,z)=(x+y,\;x-y,\;x^{2}-z^{2}).
Queremos verificar se T é linear, ou seja, se satisfaz
aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v) para todo u,v,
homogeneidade: T(c\,u)=c\,T(u) para todo escalar c.
Se fosse linear, deveríamos encontrar uma matriz A tal que T(X)=AX.
Passo 2
Testamos a homogeneidade em um caso simples. Seja v=(1,0,0) e c=2. Então