(a) Calcule o polinômio característico \varphi(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda I) da matriz A e demonstre que A tem dois autovalores: \lambda_{1}=1 e \lambda_{2}=2. (Valor: 1 ponto)
(b) Encontre uma base de \mathbb{R}^{3} formada por autovetores de A. (Valor: 1 ponto)
(c) Encontre uma matriz diagonalizadora P e uma matriz diagonal D tais que A=P D P^{-1}. (Valor: 1 ponto)
(d) Encontre a matriz inversa P^{-1} da matriz diagonalizadora P do item (c). (Valor: 1 ponto)
(e) Calcule A^{2022}. (Valor: 1,5 ponto)
Passo 1
O enunciado trata de encontrar o polinômio característico de
mostrar que os autovalores são \lambda_1=1 e \lambda_2=2, achar bases de autovetores, diagonalizar A (isto é, achar P e D tais que A=PDP^{-1}), calcular P^{-1} e por fim computar A^{2022}.
Passo 2
Para achar o polinômio característico \varphi(\lambda)=\det(A-\lambda I), montamos