Seja
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 2 & -4 & 4 \end{array}\right) .
(a) Calcule o polinômio característico \varphi(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda I) da matriz A e demonstre que A tem dois autovalores: \lambda_{1}=1 e \lambda_{2}=2. (Valor: 1 ponto)
(b) Encontre uma base de \mathbb{R}^{3} formada por autovetores de A. (Valor: 1 ponto)
(c) Encontre uma matriz diagonalizadora P e uma matriz diagonal D tais que A=P D P^{-1}. (Valor: 1 ponto)
(d) Encontre a matriz inversa P^{-1} da matriz diagonalizadora P do item (c). (Valor: 1 ponto)
(e) Calcule A^{2022}. (Valor: 1,5 ponto)

Passo 1

O enunciado trata de encontrar o polinômio característico de
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 2 & -4 & 4 \end{pmatrix},
mostrar que os autovalores são \lambda_1=1 e \lambda_2=2, achar bases de autovetores, diagonalizar A (isto é, achar P e D tais que A=PDP^{-1}), calcular P^{-1} e por fim computar A^{2022}.

Passo 2

Para achar o polinômio característico \varphi(\lambda)=\det(A-\lambda I), montamos
A-\lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & -1\\\\ 1 & -\lambda & 1\\\\ 2 & -4 & 4-\lambda \end{pmatrix}
e expandimos o determinante por cofatores na primeira linha:
\varphi(\lambda) =(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}-\lambda&1\\\ -4&4-\lambda\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 2&4-\lambda\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}1&-\lambda\\\ 2&-4\end{pmatrix}.
Calculando cada menor:
\det\begin{pmatrix}-\lambda&1\\\ -4&4-\lambda\end{pmatrix} =\lambda^2-4\lambda+4, \quad \det\begin{pmatrix}1&1\\\ 2&4-\lambda\end{pmatrix} =2-\lambda, \quad \det\begin{pmatrix}1&-\lambda\\\ 2&-4\end{pmatrix} =-4+2\lambda.
Logo
\varphi(\lambda) =(1-\lambda)(\lambda^2-4\lambda+4) -2(2-\lambda) -( -4+2\lambda) =-\lambda^3+5\lambda^2-8\lambda+4.
Multiplicando por -1,
\varphi(\lambda)=\lambda^3-5\lambda^2+8\lambda-4 =(\lambda-1)(\lambda-2)^2,
de onde os autovalores são \lambda_1=1 (multiplicidade 1) e \lambda_2=2 (multiplicidade 2).

Passo 3

Agora achamos autovetores:
  1. Para \lambda=1\), resolvemos \((A-I)x=0\): \[\begin{pmatrix} 0&2&-1\\\ 1&-1&1\\\ 2&-4&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0 \implies \begin{cases} 2y-z=0,\\\ x-y+z=0, \end{cases}
daqui z=2y\] e \(x=-y. Escolhendo y=1 dá o autovetor
v_1=(-1,1,2)^T.
  1. Para \lambda=2, resolvemos (A-2I)x=0:
\begin{pmatrix} -1&2&-1\\\ 1&-2&1\\\ 2&-4&2 \end{pmatrix}x=0 \implies x=2y-z,
com y,z livres. Tomando (y,z)=(1,0) e (0,1) obtemos
v_2=(2,1,0)^T, \quad v_3=(-1,0,1)^T,
que são linearmente independentes e formam a base do espaço próprio de \lambda=2.

Passo 4

Montamos a matriz de passagem P cujas colunas são os autovetores v_1,v_2,v_3, e a diagonal D com os autovalores na mesma ordem:
P=\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix} 1&0&0\\\\ 0&2&0\\\\ 0&0&2 \end{pmatrix},
de modo que A=PDP^{-1}.

Passo 5

Para inverter P usamos a fórmula da adjunta. Calcula-se \det P=-1 e a adjunta \operatorname{adj}(P), obtendo
\operatorname{adj}(P) =\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\\\ -1 & 1 & -1\\\\ -2 & 4 & -3 \end{pmatrix},
logo
P^{-1}=\frac{1}{\det P}\,\operatorname{adj}(P) =-\,\operatorname{adj}(P) = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -1\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 2 & -4 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 6

Para a potência A^{2022} usamos
A^{2022} =P\,D^{2022}\,P^{-1}, \qquad D^{2022}=\operatorname{diag}(1^{2022},2^{2022},2^{2022}) =\operatorname{diag}(1,2^{2022},2^{2022}).
Multiplicando dá-se uma expressão em função de 2^{2022}. Por exemplo, ao efetuar P\,D^{2022}\,P^{-1} resulta
A^{2022} =\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1-2^{2022}\\\\ 2^{2022}-1 & 2-2^{2022} & 2^{2022}-1\\\\ 2^{2023}-2 & 4-2^{2024} & 3\,2^{2022}-2 \end{pmatrix}.

Resposta

(a) \varphi(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-2)^2, logo \lambda_1=1, \lambda_2=2.
(b) Base de autovetores: \{(-1,1,2)^T,\,(2,1,0)^T,\;(-1,0,1)^T\}.
(c)
P=\begin{pmatrix}-1&2&-1\\\ 1&1&0\\\ 2&0&1\end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&2&0\\\ 0&0&2\end{pmatrix}.
(d)
P^{-1}=\begin{pmatrix}-1&2&-1\\\ 1&-1&1\\\ 2&-4&3\end{pmatrix}.
(e)
A^{2022} =P\,\diag(1,2^{2022},2^{2022})\,P^{-1} =\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1-2^{2022}\\\\ 2^{2022}-1 & 2-2^{2022} & 2^{2022}-1\\\\ 2^{2023}-2 & 4-2^{2024} & 3\,2^{2022}-2 \end{pmatrix}.

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