Verifique se as equações abaixo são homogêneas e resolva-as:
d yd x=y^2+x^2x y ; y(1)=-2

Passo 1

Temos a equação diferencial dydx=y^2+x^2xy com condição inicial y(1)=-2. O conteúdo é equações diferenciais homogêneas de primeira ordem e vamos usar a substituição y=v x.

Passo 2

Para verificar se a equação é homogênea, note que f(x,y)=y^2+x^2xy satisfaz
f(tx,ty)=(ty)^2+(tx)^2(tx)(ty)=t^2(y^2+x^2)t^2(xy)=y^2+x^2xy=f(x,y),
ou seja, f é de grau zero e depende apenas de v=y/x.

Passo 3

Com a substituição y=vx, calcula-se
dydx=v+xdvdx
Substituindo na EDO:
v+xdvdx=v+1v
Logo,
xdvdx=1v

Passo 4

Separe as variáveis:
v,dv=dxx
Integre ambos os lados:
integral v,dv=integraldxxRightarrow v^22=ln|x|+C

Passo 5

Volte a y usando v=y/x:
y^22x^2=ln|x|+C
Aplique x=1,,y=-2:
(-2)^22cdot1^2=0+CRightarrow C=2

Passo 6

Substitua C e isole y:
y^22x^2=ln|x|+2 Rightarrow y^2=2x^2(ln|x|+2)
Como em x=1 temos y=-2, escolhemos o sinal negativo na raiz.

Resposta

y=-x\sqrt{2,(\ln|x|+2)}

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