Determine a função y(x) tal que:
\frac{d y}{d x}=\frac{1}{x^{2}}+1, y(1)=0

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos achar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^{2}} + 1
com a condição inicial y(1)=0. O que precisamos aqui é calcular a antiderivada de \tfrac{1}{x^{2}}+1.

Passo 2

Integramos ambos os lados em relação a x. Pela regra do fundamental,
\int \frac{dy}{dx}\,dx = \int \Bigl(x^{-2} + 1\Bigr)\,dx,
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y(x) = \int x^{-2}\,dx + \int 1\,dx + C.
Sabendo que \int x^{-2}\,dx = -x^{-1} e \int 1\,dx = x, obtemos
y(x) = -\frac{1}{x} + x + C.

Passo 3

Aplicamos a condição inicial y(1)=0. Substituindo x=1:
0 = y(1) = -\frac{1}{1} + 1 + C = -1 + 1 + C = C,
portanto C=0.

Resposta

y(x) = x - \frac{1}{x}.

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