Determine uma função
tal que
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma função
tal que suas derivadas parciais sejam
O conteúdo da matéria é funções potencial (campo conservativo) e vamos precisar verificar a compatibilidade das derivadas mistas e então integrar uma das derivadas parciais.
Passo 2
Verificamos a condição de igualdade das derivadas mistas:
Como ambas coincidem, o campo é conservativo e existe
.
Passo 3
Integramos
em relação a
:
onde
é uma função de
ainda a determinar.
Passo 4
Derivamos a expressão obtida em relação a
e igualamos a
dada:
Logo
Integramos em
:
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos a primitiva geral: