Determine uma função f(x, y) tal que
l partial fpartial x=3 x^2 y^2-6 y partial fpartial y=2 x^3 y-6 x+yy^2+1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma função f(x,y) tal que suas derivadas parciais sejam
partial fpartial x=3x^2y^2-6y,
partial fpartial y=2x^3y-6x+yy^2+1
O conteúdo da matéria é funções potencial (campo conservativo) e vamos precisar verificar a compatibilidade das derivadas mistas e então integrar uma das derivadas parciais.

Passo 2

Verificamos a condição de igualdade das derivadas mistas:
partialpartial yl(3x^2y^2-6yr) =6x^2y-6,
partialpartial xl(2x^3y-6x+yy^2+1r) =6x^2y-6
Como ambas coincidem, o campo é conservativo e existe f(x,y).

Passo 3

Integramos partial fpartial x=3x^2y^2-6y em relação a x:
f(x,y)=integrall(3x^2y^2-6yr),dx =x^3y^2-6xy+g(y),
onde g(y) é uma função de y ainda a determinar.

Passo 4

Derivamos a expressão obtida em relação a y e igualamos a partial fpartial y dada:
partialpartial yl(x^3y^2-6xy+g(y)r) =2x^3y-6x+g'(y) stackrel!=2x^3y-6x+yy^2+1
Logo
g'(y)=yy^2+1
Integramos em y:
g(y)=integralyy^2+1,dy =tfrac12lnl(y^2+1r)+C

Passo 5

Substituindo g(y) em f(x,y), obtemos a primitiva geral:
f(x,y)=x^3y^2-6xy+tfrac12lnl(y^2+1r)+C

Resposta

f(x,y)=x^3y^2-6xy+tfrac12lnl(y^2+1r)+C

Exercícios relacionados