Nos exercícios 37. a 46., encontre a solução geral das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
Encontre a solução geral das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de ordem três com coeficientes constantes
y''' - 3y'' + 3y' - y = 0
Vamos usar o método da equação característica, que consiste em assumir y=e^rx e achar os valores de r.

Passo 2

Assumindo y=e^rx, temos
y' = r e^rx, y'' = r^2 e^rx, y''' = r^3 e^rx
Substituindo na EDO, obtemos a equação característica
r^3 - 3r^2 + 3r - 1 = 0

Passo 3

Reconhecemos o desenvolvimento do binômio (r-1)^3:
(r-1)^3 = r^3 - 3r^2 + 3r -1
Logo a única raiz é r=1, com multiplicidade 3.

Passo 4

Quando uma raiz r de multiplicidade 3 aparece na equação característica, a teoria das EDOs diz que a solução geral tem a forma
y(x) = l(C1 + C2 x + C3 x^2r)e^rx,
onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

Passo 5

Substituindo r=1 na forma acima, obtemos a solução geral da EDO dada.

Resposta

y(x) = l(C1 + C2 x + C3 x^2r)e^x

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