Nos exercícios 37. a 46., encontre a solução geral das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
Encontre a solução geral das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-y=0
Encontre a solução geral das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-y=0
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de ordem três com coeficientes constantes
Vamos usar o método da equação característica, que consiste em assumir
e achar os valores de
.
Passo 2
Assumindo
, temos
Substituindo na EDO, obtemos a equação característica
Passo 3
Reconhecemos o desenvolvimento do binômio
:
Logo a única raiz é
, com multiplicidade 3.
Passo 4
Quando uma raiz
de multiplicidade 3 aparece na equação característica, a teoria das EDOs diz que a solução geral tem a forma
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Substituindo
na forma acima, obtemos a solução geral da EDO dada.