Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
y^{\prime \prime}+9 y=\left(x^{2}+2\right) e^{3 x}
y^{\prime \prime}+9 y=\left(x^{2}+2\right) e^{3 x}
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos obter a solução geral na forma
onde
é a solução da homogênea e
uma solução particular.
Passo 2
Para a homogênea
montamos a equação característica
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Como o termo não-homogêneo é
e
não é raiz da característica, usamos método dos coeficientes indeterminados com o palpite
Passo 4
Calculamos as derivadas: seja
, então
Escrevendo explicitamente e somando
, obtemos
Isso deve igualar
, logo igualamos coeficientes:
Resolvendo:
Passo 5
Assim a solução particular é
e a solução geral fica