Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo.
y^{\prime \prime}+9 y=\left(x^{2}+2\right) e^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' + 9y = (x^2 + 2),e^3x
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos obter a solução geral na forma
y(x) = yh(x) + yp(x),
onde yh é a solução da homogênea e yp uma solução particular.

Passo 2

Para a homogênea
y'' + 9y = 0
montamos a equação característica
r^2 + 9 = 0 Longrightarrow r = pm 3,i
Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1 cos(3x) + C2 sin(3x)

Passo 3

Como o termo não-homogêneo é (x^2+2)e^3x e 3 não é raiz da característica, usamos método dos coeficientes indeterminados com o palpite
yp(x) = e^3xl(A x^2 + B x + Cr)

Passo 4

Calculamos as derivadas: seja q(x)=A x^2+Bx+C, então
yp = e^3xq, yp' = e^3xl(3q + q'r), yp'' = e^3xl(3(3q+q')+q''r)
Escrevendo explicitamente e somando 9yp, obtemos
yp'' + 9yp = e^3xl(18A,x^2 + (12A+18B),x + (2A+6B+18C)r)
Isso deve igualar (x^2+2)e^3x, logo igualamos coeficientes:
18A = 1, 12A + 18B = 0, 2A + 6B + 18C = 2
Resolvendo:
A = tfrac118, B = -tfrac127, C = tfrac19162

Passo 5

Assim a solução particular é
yp(x) = e^3xl(tfrac118,x^2 - tfrac127,x + tfrac19162r),
e a solução geral fica
y(x) = C1 cos(3x) + C2 sin(3x) + e^3xl(tfrac118,x^2 - tfrac127,x + tfrac19162r)

Resposta

boxedy(x) = C1 cos(3x) + C2 sin(3x) + e^3xl(tfrac118,x^2 - tfrac127,x + tfrac19162r)

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