(a) Determine uma função f tal que nabla f=F
F(x, y, z)=lang<= e^y, x e^y,(z+1) e^zrang<=, onde C é parametrizada por r(t)=lang<= t, t^2, t^3rang<=, 0 <= t <= 1.

Passo 1

O exercício pede pra gente encontrar uma função potencial f(x,y,z) tal que o gradiente dela seja dado por nabla f=lang<= e^y, x e^y, (z+1)e^zrang<=. O tema é campos conservativos e funções potenciais, e vamos usar integrações parciais pra descobrir f.

Passo 2

Começamos observando que partial fpartial x=e^y. Integrando essa relação em relação a x, temos
[
f(x,y,z)=\int e^y,dx = x e^y + g(y,z),
]
onde g(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z.

Passo 3

Agora usamos a segunda componente do gradiente: deve valer partial fpartial y=x e^y. Calculando a derivada de f em relação a y obtemos
[
\frac{\partial f}{\partial y}=x e^y + \frac{\partial g}{\partial y}.
]
Para isso bater com x e^y, precisamos de partial gpartial y=0. Logo, g(y,z) não depende de y, isto é, g(y,z)=h(z).

Passo 4

Por fim, usamos a terceira componente: partial fpartial z=(z+1)e^z. Como
[
\frac{\partial f}{\partial z}=h’(z),
]
temos que
[
h’(z)=(z+1)e^z.
]
Integramos isso em relação a z:
[
h(z)=\int (z+1)e^z,dz = z e^z + C,
]
onde C é uma constante. Reunindo tudo, obtemos a função potencial
[
f(x,y,z)=x e^y + z e^z + C.
]

Resposta

f(x,y,z)=x e^y + z e^z + C

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