(a) Determine uma função
tal que
, onde
é parametrizada por
.
Passo 1
O exercício pede pra gente encontrar uma função potencial f(x,y,z) tal que o gradiente dela seja dado por
. O tema é campos conservativos e funções potenciais, e vamos usar integrações parciais pra descobrir f.
Passo 2
Começamos observando que
. Integrando essa relação em relação a
, temos
[
f(x,y,z)=\int e^y,dx = x e^y + g(y,z),
]
onde é uma “constante” de integração que pode depender de
e
.
[
f(x,y,z)=\int e^y,dx = x e^y + g(y,z),
]
onde
Passo 3
Agora usamos a segunda componente do gradiente: deve valer
. Calculando a derivada de
em relação a
obtemos
[
\frac{\partial f}{\partial y}=x e^y + \frac{\partial g}{\partial y}.
]
Para isso bater com , precisamos de
. Logo,
não depende de
, isto é,
.
[
\frac{\partial f}{\partial y}=x e^y + \frac{\partial g}{\partial y}.
]
Para isso bater com
Passo 4
Por fim, usamos a terceira componente:
. Como
[
\frac{\partial f}{\partial z}=h’(z),
]
temos que
[
h’(z)=(z+1)e^z.
]
Integramos isso em relação a :
[
h(z)=\int (z+1)e^z,dz = z e^z + C,
]
onde é uma constante. Reunindo tudo, obtemos a função potencial
[
f(x,y,z)=x e^y + z e^z + C.
]
[
\frac{\partial f}{\partial z}=h’(z),
]
temos que
[
h’(z)=(z+1)e^z.
]
Integramos isso em relação a
[
h(z)=\int (z+1)e^z,dz = z e^z + C,
]
onde
[
f(x,y,z)=x e^y + z e^z + C.
]
Resposta
f(x,y,z)=x e^y + z e^z + C