Determine a solução das seguintes equações diferenciais lineares de 2^circ ordem:
2 y^prime prime-y^prime-3 y=0, y(0)=2 e y^prime(0)=-3

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
2,y'' - y' - 3,y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=-3.
O que vamos usar é o método do polinômio característico: assumimos uma solução do tipo y=e^r x e obtemos uma equação algébrica para r.

Passo 2

Substituindo y=e^r x na equação, temos
y' = r e^r x, y'' = r^2 e^r x,
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2,r^2 e^r x - r e^r x - 3,e^r x=0
Dividindo por e^r xneq0 e por 2, chega-se ao polinômio característico
r^2 - tfrac12r - tfrac32 = 0

Passo 3

Para resolver
r^2 - tfrac12r - tfrac32 = 0,
aplicamos a fórmula de Bhaskara:
r = tfrac12pmraizl(tfrac12r)^2 + 4cdottfrac322 = tfrac12pmraiztfrac14 + 62 = tfrac12pmtfrac522
Isso dá as raízes
r1 = 1/2 + 5/22 = tfrac32, r2 = 1/2 - 5/22 = -1

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C1 e^tfrac32x + C2 e^-x,
onde C1 e C2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Calculamos a derivada
y'(x) = tfrac32C1 e^tfrac32x - C2 e^-x
Em x=0 as condições iniciais dão o sistema
y(0)=C1 + C2 = 2, y'(0)=tfrac32C1 - C2 = -3

Passo 6

Somando as duas equações elimina-se C2:
(C1 + C2) + l(tfrac32C1 - C2r) = 2 + (-3) ;Longrightarrow; tfrac52C1 = -1 ;Longrightarrow; C1 = -tfrac25
Então
C2 = 2 - C1 = 2 + tfrac25 = tfrac125

Resposta

boxedy(x) = -tfrac25,e^tfrac32x + tfrac125,e^-x

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