Determine uma função f tal que F=nabla f e use a parte SCA 27. (a) para calcular integralC F " d r sobre a curva C dada.
F(x, y, z)=y z e^x z i+e^x z j+x y e^x z k,
C: r(t)=(t^2+1) i+(t^2-1) j+(t^2-2 t) k, 0 <= t <= 2

Passo 1

O enunciado pede para achar uma função f tal que F=nabla f (ou seja, F é um campo conservativo) e depois usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha (parte SCA 27.(a)) para calcular
integralCFcdot dr
O conteúdo envolvido é a busca de potencial escalar f a partir de F e a aplicação do teorema que diz
integralCnabla fcdot dr=fl(r(b)r)-fl(r(a)r)

Passo 2

Começamos integrando a componente que envolve partial f/partial y, pois é a mais simples:
partial fpartial y=e^xz Longrightarrow f(x,y,z)=y,e^xz+phi(x,z),
onde phi(x,z) é uma função “de constante” relativa a y.

Passo 3

Agora impomos a condição partial f/partial x=yz,e^xz. Calculamos
partialpartial xl(y,e^xz+phi(x,z)r) =yl(z,e^xzr)+partialphipartial x stackrel!=y,z,e^xz,
o que obriga partialphi/partial x=0. Logo phi depende só de z.
Em seguida, pela condição partial f/partial z=x y,e^xz, temos
partialpartial zl(y,e^xz+phi(z)r) =yl(x,e^xzr)+phi'(z) stackrel!=x,y,e^xz,
de onde phi'(z)=0. Escolhemos phi=0 (constante absorvida no potencial).

Passo 4

Concluímos que um potencial de F é
f(x,y,z)=y,e^xz
Pelo Teorema Fundamental,
integralCFcdot dr =fl(r(2)r)-fl(r(0)r)

Passo 5

Os extremos são
r(0)=(1,,-1,,0), r(2)=(5,,3,,0)
Logo
fl(5,3,0r)=3,e^5cdot0=3, fl(1,-1,0r)=-1,e^1cdot0=-1,
e
integralCFcdot dr=3-(-1)=4

Resposta

f(x,y,z)=y,e^xz
integralCFcdot dr=4

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