Determine os limites das seguintes seqüências:
1)
lim n infty n sen(2n)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra calcular o limite da sequência
an = n ,sin!l(tfrac2nr)
quando n to infty. Isso entra em “limites de sequência” e a gente vai usar um limite clássico do cálculo:
limxto 0sin xx = 1
Então precisamos reconhecer essa forma e usar essa propriedade pra resolver.

Passo 2

Vamos ver o que acontece com cada parte quando n cresce:
  • tfrac2n vai para 0, logo sin(tfrac2n)to sin(0)=0.
  • A expressão fica parecendo “ n times 0”, ou seja, infinito vezes zero, que é uma indeterminação.
Pra destravar isso, lembramos que para ângulos pequenos vale sin xapprox x. Mais formalmente,
limxto 0sin xx = 1
Isso pode ser justificado pela série de Taylor
sin x = x - x^3/6 + dots, mas o ponto é decorar esse limite.

Passo 3

Agora a gente manipula an pra usar esse limite:
an = n ,sin!l(tfrac2nr) = n cdot 2n cdot sin(tfrac2n)(tfrac2n) = 2 cdot sin(tfrac2n)(tfrac2n)
Quando ntoinfty, tfrac2nto0, e aí
sin(tfrac2n)(tfrac2n) ;longrightarrow; 1
Portanto
limntoinfty an = 2 times 1 = 2

Resposta

2

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