y^(4)-4 y^prime prime+16 y^prime+32 y=0
R: y(x)=c1 e^-2 x+c2 x e^-2 x+e^2 x[c3 cos (2 x)+c4 sen(2 x)]

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de ordem quatro com coeficientes constantes
y^(4) - 4,y'' + 16,y' + 32,y = 0
O conteúdo que vamos usar é a técnica de polinômio característico: transformamos y^(n)mapsto r^n, achamos as raízes de
r^4 - 4,r^2 + 16,r + 32 = 0
e então construímos a solução geral a partir dessas raízes.

Passo 2

Formamos o polinômio característico associando cada derivada a r:
r^4 - 4,r^2 + 16,r + 32 = 0

Passo 3

Para fatorar esse polinômio, notamos que r=-2 é raiz dupla. De fato, dividindo por (r+2)^2 obtemos
r^4 - 4,r^2 + 16,r + 32 = (r+2)^2,(r^2 - 4,r + 8)
As raízes de r^2 - 4,r + 8=0 são
r = 4 pm raiz16 - 322 = 2 pm 2,i

Passo 4

Como r=-2 tem multiplicidade 2, geram-se as soluções e^-2x e x,e^-2x. As raízes complexas 2pm2i produzem a parte real e imaginária combinadas como e^2xcos(2x) e e^2xsin(2x). Logo a solução geral é
y(x) = c1,e^-2x + c2,x,e^-2x + e^2xl(c3cos(2x)+c4sin(2x)r),
com c1,c2,c3,c4 constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=c1,e^-2x+c2,x,e^-2x+e^2xl(c3cos(2x)+c4sin(2x)r)

Exercícios relacionados