Extra 8. Suponha que um ponto move-se ao longo de uma curva y=f(x) no plano x y de tal forma que a cada ponto (x, y) da curva a reta tangente tem inclinação \sqrt{x+1}. Ache a equação da curva sabendo que ela passa pelo ponto (0,1).

Passo 1

O enunciado diz que a curva y=f(x) tem inclinação da reta tangente em cada ponto igual a \sqrt{x+1}, e passa por (0,1).
O conteúdo aqui é resolver uma equação diferencial de primeira ordem do tipo
\frac{dy}{dx}=\sqrt{x+1}
com condição inicial f(0)=1.

Passo 2

Traduzimos a informação da inclinação em forma de equação diferencial:
\frac{dy}{dx} = \sqrt{x+1}.
Isso significa que basta integrar os dois lados em relação a x para encontrar y.

Passo 3

Integramos ambos os lados. À esquerda, \int \frac{dy}{dx}\,dx=\int dy. À direita, temos o integral de \sqrt{x+1}:
\int dy = \int \sqrt{x+1}\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral de \sqrt{x+1}=(x+1)^{1/2}. Usando a regra de potência:
\int (x+1)^{\tfrac12}\,dx = \frac{(x+1)^{\tfrac32}}{\tfrac32}+C = \frac{2}{3}(x+1)^{\tfrac32}+C.
Logo a solução geral é
y = \frac{2}{3}(x+1)^{\tfrac32} + C.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 e y=1:
1 = \frac{2}{3}(0+1)^{\tfrac32} + C = \frac{2}{3}\cdot1 + C \;\Longrightarrow\; C = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}.

Passo 6

Substituindo C=\tfrac{1}{3} na solução geral, obtemos a curva desejada:
y = \frac{2}{3}(x+1)^{\tfrac32} + \frac{1}{3}.

Resposta

y = \frac{2}{3}(x+1)^{\tfrac32} + \frac{1}{3}.

Exercícios relacionados