Extra 8. Suponha que um ponto move-se ao longo de uma curva
no plano
de tal forma que a cada ponto
da curva a reta tangente tem inclinação
. Ache a equação da curva sabendo que ela passa pelo ponto
.
Passo 1
O enunciado diz que a curva
tem inclinação da reta tangente em cada ponto igual a
, e passa por
.
O conteúdo aqui é resolver uma equação diferencial de primeira ordem do tipo
O conteúdo aqui é resolver uma equação diferencial de primeira ordem do tipo
com condição inicial
.
Passo 2
Traduzimos a informação da inclinação em forma de equação diferencial:
Isso significa que basta integrar os dois lados em relação a
para encontrar
.
Passo 3
Integramos ambos os lados. À esquerda,
. À direita, temos o integral de
:
Passo 4
Calculamos a integral de
. Usando a regra de potência:
Logo a solução geral é
Passo 5
Usamos a condição inicial
. Substituindo
e
:
Passo 6
Substituindo
na solução geral, obtemos a curva desejada: