Determine a função y(\theta) sabendo que:
\frac{d y}{d x}=\frac{1}{2 x+1} e y(0)=3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função y(x) sabendo que
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2x+1}
e que y(0)=3.
Esse é um problema de integração de uma equação diferencial de variável separável: basta integrar ambos os lados.

Passo 2

Separei as variáveis e escrevi a igualdade de integrais:
dy = \frac{1}{2x+1}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \int dy = \int \frac{1}{2x+1}\,dx.

Passo 3

Calculo a integral do lado direito usando a substituição u=2x+1, du=2\,dx:
\int \frac{1}{2x+1}\,dx = \int \frac{1}{u}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln\bigl|u\bigr| = \frac{1}{2}\ln\bigl|2x+1\bigr|.

Passo 4

Com isso a integração completa dá
y = \frac{1}{2}\ln\bigl|2x+1\bigr| + C,
que é a solução geral da equação.

Passo 5

Uso a condição inicial y(0)=3:
3 = \frac{1}{2}\ln\bigl|2\cdot 0 + 1\bigr| + C = \frac{1}{2}\ln(1) + C = 0 + C \quad\Longrightarrow\quad C = 3.

Resposta

y(x) = \frac{1}{2}\ln\bigl|2x+1\bigr| + 3.

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