Determine uma função \varphi tal que \overrightarrow{\mathbf{F}}=\nabla \varphi e use-a para calcular a integral de linha de \overrightarrow{\mathbf{F}} sobre a curva \gamma dada:
\overrightarrow{\mathbf{F}}(x, y)=\left(x^{2}, y^{2}\right), \gamma é o arco de parábola y=x^{2} de (-1,1) até (2,4).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o campo \overrightarrow{\mathbf{F}}(x,y)=(x^{2},y^{2}) é conservativo, ou seja, existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\overrightarrow{\mathbf{F}}. Em seguida, usando a parametrização da curva \gamma\colon y=x^{2} de (-1,1) até (2,4), calcular a integral de linha. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para Campos Conservativos:
\int_{\gamma}\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot d\mathbf{r}=\varphi\bigl(\mathbf{r}(b)\bigr)-\varphi\bigl(\mathbf{r}(a)\bigr).

Passo 2

Para encontrar \varphi(x,y), integramos a componente F_{1}(x,y)=x^{2} em relação a x:
\varphi(x,y)=\int x^{2}\,dx=\tfrac{1}{3}x^{3}+h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y. Agora impomos
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=h'(y)=F_{2}(x,y)=y^{2}.
Logo
h(y)=\int y^{2}\,dy=\tfrac{1}{3}y^{3}+C.
Descartando a constante global C, temos
\varphi(x,y)=\tfrac{1}{3}x^{3}+\tfrac{1}{3}y^{3}.

Passo 3

Os pontos inicial e final da curva são A=(-1,1) e B=(2,4). Calculamos
\varphi(B)=\varphi(2,4)=\tfrac{1}{3}(2^{3}+4^{3})=\tfrac{1}{3}(8+64)=\tfrac{72}{3}=24,
\varphi(A)=\varphi(-1,1)=\tfrac{1}{3}\bigl((-1)^{3}+1^{3}\bigr)=\tfrac{1}{3}(-1+1)=0.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental para campos conservativos,
\int_{\gamma}\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot d\mathbf{r} =\varphi(B)-\varphi(A)=24-0=24.

Resposta

24

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