Questão 5.
Valor: 2 pt
Enunciado. Determine:
(a) o rotacional do campo vetorial;
Sendo:
\mathbf{F}(x, y, z)=x y e^{z} \mathbf{i}+0 \mathbf{j}+y z e^{x} \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o rotacional do campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=x\,y\,e^{z}\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}+y\,z\,e^{x}\,\mathbf{k}.
O conteúdo é cálculo vetorial, mais especificamente a operação \nabla\times\mathbf{F}. Vamos usar a definição do rotacional em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Para um campo \mathbf{F}=P\,\mathbf{i}+Q\,\mathbf{j}+R\,\mathbf{k}, o rotacional é dado por
\nabla\times\mathbf{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\\ P & Q & R \end{vmatrix} =\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\Bigr)\mathbf{i} +\Bigl(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\Bigr)\mathbf{j} +\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\mathbf{k}.

Passo 3

Identificando
P=x\,y\,e^{z},\quad Q=0,\quad R=y\,z\,e^{x},
calculamos a componente em \mathbf{i}: \displaystyle\frac{\partial R}{\partial y}=z\,e^{x} e \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial z}=0.
Logo,
(\nabla\times\mathbf{F})_{x}=z\,e^{x}.

Passo 4

Para a componente em \mathbf{j}: \displaystyle\frac{\partial P}{\partial z}=x\,y\,e^{z} e \displaystyle\frac{\partial R}{\partial x}=y\,z\,e^{x}.
Logo,
(\nabla\times\mathbf{F})_{y}=x\,y\,e^{z}-y\,z\,e^{x}.

Passo 5

Para a componente em \mathbf{k}: \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}=0 e \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}=x\,e^{z}.
Logo,
(\nabla\times\mathbf{F})_{z}=-x\,e^{z}.

Resposta

\nabla\times\mathbf{F} = z\,e^{x}\,\mathbf{i} +\bigl(x\,y\,e^{z}-y\,z\,e^{x}\bigr)\,\mathbf{j} -x\,e^{z}\,\mathbf{k}.

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