Determine a função vetorial e o dominio que representa a curva obtida pela intersecção das duas superficies:
A metade superior do cone z^2=4 x^2+2 y^2 e o cilindro x^2+y^2=3, usando x como o parámetro.

Passo 1

O enunciado pede a curva de interseção entre a folha superior do cone
z^2 = 4x^2 + 2y^2, z>=0
e o cilindro
x^2 + y^2 = 3
usando x como parâmetro. Vamos precisar: (i) da equação do cilindro para expressar y em função de x e (ii) da folha superior do cone para escrever z em função de x (e de y).

Passo 2

Da equação do cilindro x^2 + y^2 = 3, isolamos
y^2 = 3 - x^2
para obter
y = pm raiz3 - x^2,
Para que isso seja real, precisamos de
3 - x^2 >= 0 Longrightarrow -raiz3 <= x <= raiz3,

Passo 3

Da folha superior do cone temos
z = raiz4x^2 + 2y^2,,
e substituindo y^2 = 3 - x^2 resulta
z = raiz4x^2 + 2(3 - x^2) =raiz2x^2 + 6,

Passo 4

Juntando tudo, a parametrização em função de x é
r(x) = llang<=,x,;pmraiz3 - x^2,;raiz2x^2 + 6rrang<=
com domínio
-raiz3 <= x <= raiz3,

Resposta

r(x) = llang<=,x,;pmraiz3 - x^2,;raiz2x^2 + 6rrang<=, xin [-raiz3,,raiz3]

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