Determine a função vetorial e o dominio que representa a curva obtida pela intersecção das duas superficies:
O cilindro x^2+y^2=4 e a superficie z=-x y.
i) Usando x como o parámetro e
ii) usando funções trigonométricas.

Passo 1

O enunciado nos pede a parametrização vetorial da curva de intersecção entre o cilindro
x^2 + y^2 = 4
e a superfície
z = -,x,y
usando (i) x como parâmetro e (ii) funções trigonométricas. O conteúdo envolve parametrização de curvas em R^3 a partir de equações implícitas.

Passo 2

Na abordagem (i), definimos
x = t
Da equação do cilindro segue
y^2 = 4 - t^2 Longrightarrow y = pmraiz4 - t^2
Como
z = -,x,y = -,tl(pmraiz4 - t^2r) = mp,t,raiz4 - t^2,
precisamos de duas parametrizações para os dois sinais de y.

Passo 3

As parametrizações da intersecção são
r1(t)=llang<= t,;raiz4 - t^2,;-,t,raiz4 - t^2rrang<=,
r2(t)=llang<= t,;-raiz4 - t^2,;t,raiz4 - t^2rrang<=,
com domínio
tin[-2,2]
Em t=pm2 ambas coincidem em (pm2,0,0), cobrindo toda a curva.

Passo 4

Na abordagem (ii), usamos coordenadas polares no plano xy:
x = 2costheta, y = 2sintheta,
com theta variando num intervalo de 2pi. Então
z = -,x,y = -,4costhetasintheta = -,2sin(2theta)

Passo 5

A parametrização trigonométrica fica
r(theta) = llang<= 2costheta,;2sintheta,;-4costhetasinthetarrang<=,
com domínio
thetain[0,2pi]

Resposta

(i) r1(t)=lang<= t,raiz4-t^2,-traiz4-t^2rang<= e r2(t)=lang<= t,-raiz4-t^2,traiz4-t^2rang<=, tin[-2,2].
(ii) r(theta)=lang<=2costheta,2sintheta,-4costhetasinthetarang<=, thetain[0,2pi].

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