Como você calcularia a integral dupla de uma função contínua f(x,y) sobre a região R no plano xy delimitada pelo triângulo com vértices (0,1), (2,0) e (1,2)? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaRf(x,y),dA
onde f é contínua e R é o triângulo de vértices (0,1), (2,0) e (1,2).
Conteúdo: integral dupla e Teorema de Fubini. Para resolver, precisamos descrever R em coordenadas cartesianas por desigualdades, achar as retas que formam os lados do triângulo e usar integração iterada.

Passo 2

Encontramos as equações das três arestas de R:
– Entre (0,1) e (2,0):
y=-tfrac12x+1
– Entre (0,1) e (1,2):
y=x+1
– Entre (1,2) e (2,0):
y=-2x+4
Projetando em x, vemos que x varia de 0 a 2. Para 0<= x<=1, a parte superior é y=x+1 e a inferior é y=-tfrac12x+1. Para 1<= x<=2, a parte superior é y=-2x+4 e a inferior continua y=-tfrac12x+1.

Passo 3

Pelo Teorema de Fubini podemos escrever
integral duplaRf(x,y),dA =integralx=0^1l[integraly=-tfrac12x+1^,y=x+1f(x,y),dyr]dx +integralx=1^2l[integraly=-tfrac12x+1^,y=-2x+4f(x,y),dyr]dx

Resposta

integral duplaRf(x,y),dA =integral0^1!integral-tfrac12x+1^,x+1f(x,y),dy,dx +integral1^2!integral-tfrac12x+1^,-2x+4f(x,y),dy,dx

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