Determine a função vetorial e o dominio que representa a curva obtida pela intersecção das duas superficies:
O cone z=raizx^2+y^2 e o plano z=1+y, usando x como o parámetro.

Passo 1

O enunciado pede a curva de interseção entre o cone
z = raizx^2 + y^2
e o plano
z = 1 + y,
usando x como parâmetro. O conteúdo envolvido é parametrizar uma curva definida pela interseção de duas superfícies: basta expressar y e z em função de x.

Passo 2

Para achar a interseção, igualamos as duas expressões de z, lembrando que no cone raizx^2+y^2 exige 1+y>=0:
raizx^2+y^2 ;=; 1 + y

Passo 3

Quadrando ambos os lados e simplificando, obtemos
x^2 + y^2 = (1+y)^2 = 1 + 2y + y^2
implies x^2 = 1 + 2y
implies y = x^2 - 12

Passo 4

Agora, usando o plano para z, temos
z = 1 + y = 1 + x^2 - 12 = x^2 + 12

Passo 5

A parametrização com parâmetro x fica
r(x) = gllang<= x,;x^2 - 12,;x^2 + 12grrang<=,
e o domínio de x é todo o conjunto dos reais, pois a condição 1+y>=0 é satisfeita para todo x.

Resposta

r(x) = gllang<= x,;x^2 - 12,;x^2 + 12grrang<=, xin(-infty,infty)

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