Nos Exercícios 73 e 74, aproxime as integrais duplas de f(x,y) sobre a região R particionada pelas retas verticais dadas x=a e retas horizontais y=c. Em cada sub-retângulo, utilize (xk, yk) conforme indicado para sua aproximação.
integral duplaR f(x,y) dA approx sumk=1^n f(xk, yk) De<a Ak
f(x,y) = x+2y sobre a região R dentro do círculo (x-2)^2+(y-3)^2=1 utilizando a partição x=1, 3/2, 2, 5/2, 3 e y=2, 5/2, 3, 7/2, 4 com (xk, yk) no centro (centroide) do k-ésimo sub-retângulo (contanto que o sub-retângulo esteja dentro de R).

Passo 1

O enunciado pede aproximar a integral
integral duplaR(x+2y),dA
onde R é o interior do círculo (x-2)^2+(y-3)^2=1. Vamos usar a partição em x=1,,1,5,,2,,2,5,,3 e y=2,,2,5,,3,,3,5,,4, escolhendo em cada sub-retângulo o ponto médio (xk,yk) e somando apenas os sub-retângulos cujo ponto médio satisfaça
(xk-2)^2+(yk-3)^2<=1
A fórmula de aproximação é
integral duplaR f(x,y),dAapproxsumkf(xk,yk),De<a Ak

Passo 2

Cada intervalo em x tem largura De<a x=0,5 e em y tem De<a y=0,5, logo
De<a Ak=De<a x,De<a y=0,5cdot0,5=0,25
Os pontos médios em x são
xkin1,25,;1,75,;2,25,;2,75,
e em y são
ykin2,25,;2,75,;3,25,;3,75

Passo 3

Testamos cada par (xk,yk) na inequação (xk-2)^2+(yk-3)^2<=1. Os que satisfazem são:
,(1,25,2,75),,(1,25,3,25),
,(1,75,2,25),,(1,75,2,75),,(1,75,3,25),,(1,75,3,75),
,(2,25,2,25),,(2,25,2,75),,(2,25,3,25),,(2,25,3,75),
,(2,75,2,75),,(2,75,3,25).
São ao todo 12 pontos médios.

Passo 4

Calculamos f(xk,yk)=xk+2yk em cada ponto e somamos:
&(1,25,2,75):6,75, (1,25,3,25):7,75, &(1,75,2,25):6,25,;(1,75,2,75):7,25,;(1,75,3,25):8,25,;(1,75,3,75):9,25, &(2,25,2,25):6,75,;(2,25,2,75):7,75,;(2,25,3,25):8,75,;(2,25,3,75):9,75, &(2,75,2,75):8,25,;(2,75,3,25):9,25
Somando todos esses valores obtemos
sumkf(xk,yk)=96

Passo 5

Multiplicando pela área de cada sub-retângulo:
integral duplaR(x+2y),dA approx 96cdot0,25 =24

Resposta

A aproximação pelo método dos pontos médios é 24.

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