Nos Exercícios 73 e 74, aproxime as integrais duplas de
sobre a região
particionada pelas retas verticais dadas
e retas horizontais
. Em cada sub-retângulo, utilize
conforme indicado para sua aproximação.
sobre a região
dentro do círculo
utilizando a partição
e
com
no centro (centroide) do
-ésimo sub-retângulo (contanto que o sub-retângulo esteja dentro de
).
Passo 1
O enunciado pede aproximar a integral
onde
é o interior do círculo
. Vamos usar a partição em
e
, escolhendo em cada sub-retângulo o ponto médio
e somando apenas os sub-retângulos cujo ponto médio satisfaça
A fórmula de aproximação é
Passo 2
Cada intervalo em
tem largura
e em
tem
, logo
Os pontos médios em
são
e em
são
Passo 3
Testamos cada par
na inequação
. Os que satisfazem são:
.
São ao todo 12 pontos médios.
São ao todo 12 pontos médios.
Passo 4
Calculamos
em cada ponto e somamos:
Somando todos esses valores obtemos
Passo 5
Multiplicando pela área de cada sub-retângulo:
Resposta
A aproximação pelo método dos pontos médios é
.