Determine a função vetorial e o dominio que representa a curva obtida pela intersecção das duas superficies:
O plano z=2-y com a metade superior do elipsóide x^2+4 y^2+4 z^2=16, usando y como o parámetro.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da curva de interseção entre o plano ,z=2-y e a metade superior (isto é, z>=0) do elipsóide
x^2+4y^2+4z^2=16
usando y como parâmetro. Vamos substituir z=2-y na equação do elipsóide e obter x em função de y.

Passo 2

Substituindo z=2-y em
x^2+4y^2+4z^2=16
temos
x^2+4y^2+4(2-y)^2=16
Expandindo,
x^2+4y^2+4(4-4y+y^2)=16 ;Longrightarrow; x^2+4y^2+16-16y+4y^2=16 ;Longrightarrow; x^2+8y^2-16y=0 ;Longrightarrow; x^2=16y-8y^2=8y(2-y)
Logo
x=pmraiz8,y,(2-y)

Passo 3

Para a metade superior do elipsóide requeremos z=2-y>=0, ou seja y<=2. Além disso, sob a raiz deve valer 8y(2-y)>=0, o que implica 0<= y<=2. Assim o domínio do parâmetro é
0<= y<=2

Resposta

A família de parametrizações da curva é
r(y)=llang<= pmraiz8,y,(2-y),;y,;2-yrrang<=, 0<= y<=2

Exercícios relacionados