Determine a função vetorial e o dominio que representa a curva obtida pela intersecção das duas superficies:
A metade superior do cone z^2=8 x^2+2 y^2 e a esfera x^2+y^2+z^2=3.
i) Usando y como o parámetro e
ii) usando funções trigonométricas.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da curva de interseção entre a “metade superior” do cone
z^2 = 8x^2 + 2y^2,
e a esfera
x^2 + y^2 + z^2 = 3
O conteúdo é interseção de superfícies e parametrização de curva em R^3. Vamos precisar: (a) combinar as equações para obter uma relação entre x e y e (b) expressar z em função destes.

Passo 2

Substituindo z^2 do cone na esfera, temos
x^2 + y^2 + (8x^2 + 2y^2) = 3 ;Longrightarrow; 9x^2 + 3y^2 = 3 ;Longrightarrow; 3x^2 + y^2 = 1
Isso mostra que a projeção da curva no plano xy é a elipse ,3x^2+y^2=1.

Passo 3

(i) Usando y como parâmetro: da elipse
3x^2 + y^2 = 1
vem
x(y) = pmraiz1 - y^23, yin[-1,1]
Como queremos a “metade superior” do cone, tomamos
z = +raiz8x^2 + 2y^2 =raiz8(1 - y^2)3 + 2y^2
Logo a curva é dada pelas duas funções vetoriais
rpm(y) = l(,pmraiztfrac1 - y^23,;y,;raiztfrac8(1 - y^2)3 + 2y^2r), yin[-1,1]

Passo 4

(ii) Usando funções trigonométricas: escrevemos a elipse como
x = 1raiz3cos t, y = sin t, tin[0,2pi]
Então
z = raiz8x^2 + 2y^2 = raiztfrac83cos^2t + 2sin^2t
A parametrização fica
r(t) = l(tfrac1raiz3cos t,;sin t,;raiztfrac83cos^2t + 2sin^2tr), tin[0,2pi]

Resposta

i)
rpm(y) = l(,pmraiztfrac1 - y^23,;y,;raiztfrac8(1 - y^2)3 + 2y^2r), yin[-1,1]
ii)
r(t) = l(tfrac1raiz3cos t,;sin t,;raiztfrac83cos^2t + 2sin^2tr), tin[0,2pi]

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