Determine a função vetorial e o dominio que representa a curva obtida pela intersecção das duas superficies:
A metade superior do cone
e a esfera
.
i) Usando
como o parámetro e
ii) usando funções trigonométricas.
A metade superior do cone
i) Usando
ii) usando funções trigonométricas.
Passo 1
O enunciado pede a parametrização da curva de interseção entre a “metade superior” do cone
e a esfera
O conteúdo é interseção de superfícies e parametrização de curva em
. Vamos precisar: (a) combinar as equações para obter uma relação entre
e
e (b) expressar
em função destes.
Passo 2
Substituindo
do cone na esfera, temos
Isso mostra que a projeção da curva no plano
é a elipse
.
Passo 3
(i) Usando
como parâmetro: da elipse
vem
Como queremos a “metade superior” do cone, tomamos
Logo a curva é dada pelas duas funções vetoriais
Passo 4
(ii) Usando funções trigonométricas: escrevemos a elipse como
Então
A parametrização fica
Resposta
i)
ii)