Determine a função vetorial e o dominio que representa a curva obtida pela intersecção das duas superficies:
A metade superior do Hiperbolóide 3 x^2+2 y^2-z^2=1 e a esfera unitaria, usando x como o parámetro.

Passo 1

O enunciado pede a curva de interseção entre o hiperbolóide superior
3x^2+2y^2-z^2=1, z>=0
e a esfera unitária
x^2+y^2+z^2=1,
usando x como parâmetro. Vamos obter y e z em função de x e determinar o intervalo de x em que tudo é real.

Passo 2

Da esfera temos
y^2+z^2=1-x^2,
e do hiperbolóide
2y^2-z^2=1-3x^2

Passo 3

Somando as duas equações:
(y^2+z^2)+(2y^2-z^2)= (1-x^2)+(1-3x^2) ;Longrightarrow; 3y^2=2-4x^2 ;Longrightarrow; y^2=2-4x^23
Em seguida, de y^2+z^2=1-x^2,
z^2=1-x^2-2-4x^23 =1+x^23

Passo 4

Como queremos a metade superior do hiperbolóide, impomos z>=0, ou seja
z=raiz1+x^23
Para y há dois ramos simétricos:
y=pmraiz2-4x^23
Para que as raízes sejam reais, precisamos
2-4x^2>=0 ;Longrightarrow; x^2<=12 ;Longrightarrow; xinl[-tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r]

Passo 5

Portanto a representação vetorial da curva é
r(x) =l(x,;pmraiz2-4x^23,;raiz1+x^23r), xinl[-tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r]

Resposta

r(x) =l(x,;pmraiztfrac2-4x^23,;raiztfrac1+x^23r), xinl[-tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r]

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