Determine os pontos críticos das seguintes funções:
f(x ; y)=x^3-x^2-y^2+8

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os pontos críticos da função f(x, y) = x^3 - x^2 - y^2 + 8 . Pontos críticos são onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente encontrar as derivadas parciais da função e resolver onde elas são zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a x e a y . As derivadas parciais mostram como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Para x :
fx = partial fpartial x = 3x^2 - 2x
Para y :
fy = partial fpartial y = -2y

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde essas derivadas parciais são iguais a zero. Ou seja, vamos resolver o sistema:
3x^2 - 2x = 0 -2y = 0

Passo 4

Vamos resolver cada equação:
  1. Da segunda equação: -2y = 0 y = 0 .
  2. Da primeira equação: 3x^2 - 2x = 0. Podemos fatorar:
x(3x - 2) = 0
Isso nos dá duas soluções:
  • x = 0
  • 3x - 2 = 0 x = 23

Passo 5

Agora, juntando as soluções de x e y , temos os pontos críticos:
  • (0, 0)
  • (23, 0)

Resposta

Os pontos críticos da função são (0, 0) e (23, 0).

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