Determine os pontos críticos das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os pontos críticos da função . Pontos críticos são onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente encontrar as derivadas parciais da função e resolver onde elas são zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e a . As derivadas parciais mostram como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Para :
Para :
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos onde essas derivadas parciais são iguais a zero. Ou seja, vamos resolver o sistema:
Passo 4
Vamos resolver cada equação:
Da segunda equação: -2y = 0 dá y = 0 .
Da primeira equação: 3x^2 - 2x = 0. Podemos fatorar:
x(3x - 2) = 0
Isso nos dá duas soluções:
x = 0
3x - 2 = 0 → x = 23
Passo 5
Agora, juntando as soluções de x e y , temos os pontos críticos:
(0, 0)
(23, 0)
Resposta
Os pontos críticos da função são (0, 0) e (23, 0).