Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção de duas superfícies.
O cilindro x^2+y^2=4 e a superfície z=x y
R. r(t)=2 cos t imath+2 sin t jmath+2 sin (2 t) k 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

O enunciado pede a curva de interseção entre o cilindro
x^2+y^2=4
e a superfície
z = x,y
O conteúdo aqui é parametrização de curvas em R^3: vamos primeiro parametrizar o cilindro e, em seguida, usar essa parametrização em z=xy.

Passo 2

Parametrizamos o cilindro de raio 2 no plano xy usando a forma trigonométrica habitual. Ou seja, para um parâmetro t,
x = 2cos t, y = 2sin t

Passo 3

Agora substituímos em z=xy:
z = (2cos t),(2sin t) = 4sin tcos t
Usando a identidade trigonométrica
4sin tcos t = 2sin(2t),
ficamos com
z = 2sin(2t)

Passo 4

Reunindo tudo num vetor posição, obtemos
r(t) = 2cos t,imath + 2sin t,jmath + 2sin(2t),k
Como queremos uma volta completa no cilindro, escolhemos
0 <= t <= 2pi

Resposta

r(t) = 2cos t,imath + 2sin t,jmath + 2sin(2t),k, 0 <= t <= 2pi

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