Utilize as ferramentas do Cálculo para esboçar os gráficos das seguintes funções:
f(x)=2 x^3-3 x^2-12 x

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de f(x)=2x^3-3x^2-12x. Vamos usar cálculo diferencial para encontrar domínio, interceptos, extremos locais, monotonia, concavidade e ponto de inflexão, e com isso montar o esboço.

Passo 2

Determinar domínio e interceptos.
O domínio de f é todo o conjunto dos reais, pois é um polinômio.
Para encontrar os zeros de f, resolvemos
f(x)=2x^3-3x^2-12x=0
x,(2x^2-3x-12)=0
2x^2-3x-12=0implies x=3pmraiz1054
Logo os interceptos com o eixo x são
x=0, x=3-raiz1054approx -1,8118, x=3+raiz1054approx 3,3118
O intercepto com o eixo y é f(0)=0.

Passo 3

Estudar f'(x) para monotonia e extremos.
f'(x)=ddx(2x^3-3x^2-12x)=6x^2-6x-12=6(x-2)(x+1)
Os pontos críticos são x=-1 e x=2.
Avaliações:
f(-1)=2(-1)^3-3(-1)^2-12(-1)=-2-3+12=7,
f(2)=2cdot8-3cdot4-12cdot2=16-12-24=-20
Sinal de f':
  • Para x<-1: f'>0 (crescente).
  • Para -1<x<2: f'<0 (decrescente).
  • Para x>2: f'>0 (crescente).
    Logo f tem máximo local em l(-1,7r) e mínimo local em l(2,-20r).

Passo 4

Estudar f''(x) para concavidade e ponto de inflexão.
f''(x)=ddx(6x^2-6x-12)=12x-6
Sinal de f'':
  • f''(x)<0 se x<tfrac12 (côncavo para baixo).
  • f''(x)>0 se x>tfrac12 (côncavo para cima).
    O ponto de inflexão ocorre em x=tfrac12, com
fl(tfrac12r)=2l(tfrac12r)^3-3l(tfrac12r)^2-12l(tfrac12r) =0,25-0,75-6=-6,5
Logo ponto de inflexão em l(tfrac12,-6,5r).

Passo 5

Comportamento para xtopminfty.
Como o coeficiente líder de x^3 é positivo, temos
limxto+inftyf(x)=+infty e limxto-inftyf(x)=-infty.
Não há assíntotas verticais nem horizontais.

Passo 6

Juntando tudo:
  • Interceptos em l(-1,8118,0r), (0,0), l(3,3118,0r).
  • Máximo local em l(-1,7r).
  • Mínimo local em (2,-20).
  • Ponto de inflexão em l(tfrac12,-6,5r).
  • Crescente em (- infty,-1)cup(2,infty), decrescente em (-1,2).
  • Côncavo para baixo em (- infty,tfrac12), côncavo para cima em (tfrac12,infty).
    A partir destas informações, basta marcar os pontos-chave no plano e desenhar a curva passando suavemente por eles, respeitando os trechos de monotonia e concavidade.

Resposta

O esboço do gráfico de f(x)=2x^3-3x^2-12x apresenta:
- Zeros em xapprox -1,8118,;0,;3,3118.
- Máximo local em (-1,7).
- Mínimo local em (2,-20).
- Ponto de inflexão em l(tfrac12,-6,5r).
- Crescente em (- infty,-1) e (2,infty), decrescente em (-1,2).
- Côncavo para baixo em (- infty,tfrac12), côncavo para cima em (tfrac12,infty).
As setas do fim de ramo devem apontar para baixo à esquerda e para cima à direita.

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