Utilize as ferramentas do Cálculo para esboçar os gráficos das seguintes funções:
f(x)=1+x^21-x^2

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=1+x^21-x^2
O conteúdo usado será análise de domínio, simetria, derivadas para monotonicidade e concavidade, limites para assíntotas e interceptos.

Passo 2

Determinar domínio, simetria e interceptos.
O denominador não pode ser zero, logo
1 - x^2 neq 0 Longrightarrow xneq pm 1
Portanto o domínio é
(-infty,-1),cup,(-1,1),cup,(1,infty)
Como f(-x)=(1+(-x)^2)/(1-(-x)^2)=f(x), a função é par.
O intercepto em x=0 é
f(0)=1+01-0=1

Passo 3

Analisar monotonicidade via a primeira derivada.
f'(x) =(2x)(1-x^2)-(1+x^2)(-2x)(1-x^2)^2 =4x(1-x^2)^2
Temos f'(x)=0 somente em x=0. Como (1-x^2)^2>0 sempre, o sinal de f' é o mesmo de x:
  • Para x<0, f'(x)<0 (função decrescente).
  • Para x>0, f'(x)>0 (função crescente).
    Logo há um mínimo local em x=0, com valor f(0)=1.

Passo 4

Analisar concavidade via a segunda derivada.
f''(x) = ddxl(4x(1-x^2)^2r) = 4(1+3x^2)(1-x^2)^3
O numerador é sempre positivo. O sinal de f'' depende de (1-x^2)^3:
  • Em |x|<1, temos 1-x^2>0, logo f''(x)>0 (concavidade para cima).
  • Em |x|>1, temos 1-x^2<0, logo f''(x)<0 (concavidade para baixo).
    Não há pontos de inflexão no domínio, apenas mudança de concavidade nos limites xtopm1.

Passo 5

Determinar assíntotas e comportamentos nos extremos.
1. Limites verticais em xtopm1:
limxto1^-f(x)=+infty, limxto1^+f(x)=-infty,
limxto(-1)^+f(x)=+infty, limxto(-1)^-f(x)=-infty
Isso confirma assíntotas verticais em x=pm1.
2. Limite em infinito:
limxtopminftyf(x) =limxtopminfty1+x^21-x^2 =-1
Portanto há uma assíntota horizontal y=-1.

Passo 6

Resumo do esboço do gráfico:
  • Domínio em três ramos: (-infty,-1), (-1,1) e (1,infty).
  • Assíntotas verticais: x=-1 e x=1.
  • Assíntota horizontal: y=-1.
  • Ramo central (-1,1): cai de +infty em xto-1^+ até o mínimo (0,1), depois sobe para +infty em xto1^-, sempre côncavo para cima.
  • Ramos laterais (-infty,-1) e (1,infty): para (1,infty), parte de -infty em xto1^+, cresce (pois f'>0) e se aproxima de -1 pelo lado inferior; para (-infty,-1), parte de -1 em xto-infty pelo lado inferior, decresce (pois f'<0) até -infty em xto-1^-; ambos são côncavos para baixo.

Resposta

Esboce o gráfico conforme descrito:
  • Três ramos, simétricos em relação ao eixo y.
  • Assíntotas verticais x=pm1 e horizontal y=-1.
  • Mínimo local em (0,1).
  • Concavidade para cima em (-1,1), para baixo em (-infty,-1) e (1,infty).

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