Utilize as ferramentas do Cálculo para esboçar os gráficos das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
O conteúdo usado será análise de domínio, simetria, derivadas para monotonicidade e concavidade, limites para assíntotas e interceptos.
Passo 2
Determinar domínio, simetria e interceptos.
O denominador não pode ser zero, logo
O denominador não pode ser zero, logo
Portanto o domínio é
Como
, a função é par.
O intercepto em é
O intercepto em
Passo 3
Analisar monotonicidade via a primeira derivada.
Temos
somente em
. Como
sempre, o sinal de
é o mesmo de
:
- Para
, (função decrescente). - Para
, (função crescente).
Logo há um mínimo local em, com valor .
Passo 4
Analisar concavidade via a segunda derivada.
O numerador é sempre positivo. O sinal de
depende de
:
- Em
, temos , logo (concavidade para cima). - Em
, temos , logo (concavidade para baixo).
Não há pontos de inflexão no domínio, apenas mudança de concavidade nos limites.
Passo 5
Determinar assíntotas e comportamentos nos extremos.
. Limites verticais em
:
Isso confirma assíntotas verticais em
.
. Limite em infinito:
Portanto há uma assíntota horizontal
.
Passo 6
Resumo do esboço do gráfico:
- Domínio em três ramos:
, e . - Assíntotas verticais:
e . - Assíntota horizontal:
. - Ramo central
: cai de em até o mínimo , depois sobe para em , sempre côncavo para cima. - Ramos laterais
e : para , parte de em , cresce (pois ) e se aproxima de pelo lado inferior; para , parte de em pelo lado inferior, decresce (pois ) até em ; ambos são côncavos para baixo.
Resposta
Esboce o gráfico conforme descrito:
- Três ramos, simétricos em relação ao eixo
. - Assíntotas verticais
e horizontal . - Mínimo local em
. - Concavidade para cima em
, para baixo em e .