lv) lim x infty (1+3x+5x^2)^x

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
limxtoinftyl(1+3x+5x^2r)^x
Isso é um caso clássico de limite exponencial do tipo (1+algo pequeno)^x. Vamos usar o fato de que se L é esse limite então ln L pode ser obtido transformando a potência em produto, e em seguida aplicar expansão de Taylor para ln(1+u).

Passo 2

Definimos
L = limxtoinftyl(1+3x+5x^2r)^x
Tomando logaritmo natural,
ln L = limxtoinfty x ,ln!l(1+3x+5x^2r)
Agora vamos estimar esse ln usando uma expansão em série para pequenos argumentos.

Passo 3

Seja
u = 3x + 5x^2
Para uto0 vale
ln(1+u) = u ;-;u^22 ;+;o(u^2)
Substituindo nosso u:
ln!l(1+3x+5x^2r) = l(3x+5x^2r) - tfrac12l(3x+5x^2r)^2 + ol(1x^2r)

Passo 4

Multiplicamos por x:
x,ln!l(1+3x+5x^2r) = xl(3x+5x^2r) - x2,9x^2 + o!l(1xr) = 3 + 5x - 92x + o!l(1xr)
Ao fazermos xtoinfty, os termos tfrac5x, tfrac92x e o(1/x) vão a zero, restando
ln L = 3

Passo 5

Se ln L =3, então
L = e^3

Resposta

e^3

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