Utilize as ferramentas do Cálculo para esboçar os gráficos das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
usando ferramentas do Cálculo. Para isso vamos precisar analisar o domínio, interceptos com eixos, simetria, derivada para monotonicidade, segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão, e comportamento quando
.
Passo 2
O domínio de
é todo
.
Interceptos:
– Eixo : em
, temos
Interceptos:
– Eixo
– Eixo
: resolvendo
dá
A função é par (simbólica em
), logo o gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 3
Calculamos a primeira derivada para achar pontos críticos:
Logo os pontos críticos são as soluções de
:
Passo 4
Analisamos o sinal de
em cada intervalo:
– Para :
e
, logo
(decrescente).
– Entre e
:
e
, logo
(crescente).
– Entre e
:
e
, logo
(decrescente).
– Para :
e
, logo
(crescente).
Com isso, é ponto de máximo local e
são mínimos locais. Calculando valores:
– Para
– Entre
– Entre
– Para
Com isso,
Passo 5
Calculamos a segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão:
–
para
(côncavo para cima).
– para
(côncavo para baixo).
Os pontos de inflexão são onde , ou seja em
, com
–
Os pontos de inflexão são onde
Passo 6
Reunindo tudo:
– Simetria par.
– Interceptos: ,
.
– Máximo local em .
– Mínimos locais em .
– Pontos de inflexão em .
– Como ,
.
– Simetria par.
– Interceptos:
– Máximo local em
– Mínimos locais em
– Pontos de inflexão em
– Como
Com esses dados, o gráfico tem formato de “W” suave, subindo para
nas extremidades, atingindo primeiro um mínimo em
, depois máximo em
, em seguida outro mínimo em
, sempre respeitando as mudanças de concavidade em
.
Resposta
O gráfico de
é simétrico em relação ao eixo
e apresenta:
(1) intercepto em e raízes em
,
(2) máximo local em ,
(3) mínimos locais em ,
(4) pontos de inflexão em ,
(5) e tende a quando
.
(1) intercepto em
(2) máximo local em
(3) mínimos locais em
(4) pontos de inflexão em
(5) e tende a