Utilize as ferramentas do Cálculo para esboçar os gráficos das seguintes funções:
f(x)=x^4-6 x^2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x)=x^4-6x^2
usando ferramentas do Cálculo. Para isso vamos precisar analisar o domínio, interceptos com eixos, simetria, derivada para monotonicidade, segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão, e comportamento quando xtopminfty.

Passo 2

O domínio de f é todo R.
Interceptos:
– Eixo y: em x=0, temos
f(0)=0^4-6cdot0^2=0
– Eixo x: resolvendo x^4-6x^2=0
x^2(x^2-6)=0 Longrightarrow x=0,;pmraiz6
A função é par (simbólica em x), logo o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 3

Calculamos a primeira derivada para achar pontos críticos:
f'(x)=4x^3-12x=4x,(x^2-3)
Logo os pontos críticos são as soluções de f'(x)=0:
x=0, x=pmraiz3

Passo 4

Analisamos o sinal de f'(x) em cada intervalo:
– Para x<-raiz3: x<0 e x^2-3>0, logo f'(x)<0 (decrescente).
– Entre -raiz3 e 0: x<0 e x^2-3<0, logo f'(x)>0 (crescente).
– Entre 0 e raiz3: x>0 e x^2-3<0, logo f'(x)<0 (decrescente).
– Para x>raiz3: x>0 e x^2-3>0, logo f'(x)>0 (crescente).
Com isso, x=0 é ponto de máximo local e x=pmraiz3 são mínimos locais. Calculando valores:
f(0)=0, f(pmraiz3)=(raiz3)^4-6(raiz3)^2=9-18=-9

Passo 5

Calculamos a segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão:
f''(x)=12x^2-12=12(x^2-1)
f''(x)>0 para |x|>1 (côncavo para cima).
f''(x)<0 para |x|<1 (côncavo para baixo).
Os pontos de inflexão são onde f''(x)=0, ou seja em x=pm1, com
f(pm1)=1-6=-5

Passo 6

Reunindo tudo:
– Simetria par.
– Interceptos: (0,0), (pmraiz6,0).
– Máximo local em (0,0).
– Mínimos locais em l(pmraiz3,-9r).
– Pontos de inflexão em l(pm1,-5r).
– Como xtopminfty, f(x)to+infty.
Com esses dados, o gráfico tem formato de “W” suave, subindo para +infty nas extremidades, atingindo primeiro um mínimo em -raiz3, depois máximo em 0, em seguida outro mínimo em +raiz3, sempre respeitando as mudanças de concavidade em pm1.

Resposta

O gráfico de f(x)=x^4-6x^2 é simétrico em relação ao eixo y e apresenta:
(1) intercepto em (0,0) e raízes em (pmraiz6,0),
(2) máximo local em (0,0),
(3) mínimos locais em l(pmraiz3,-9r),
(4) pontos de inflexão em l(pm1,-5r),
(5) e tende a +infty quando xtopminfty.

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