Determine a função
, tal que
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que relaciona a derivada de
em relação a
com uma função de
. A equação é:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo, especialmente com integrais, porque queremos encontrar a função
que satisfaz essa equação diferencial e passa pelo ponto
.
Passo 2
Primeiro, precisamos integrar a derivada
para encontrar
. Basicamente, a integral de
em relação a
nos dá a própria função
mais uma constante de integração.
Passo 3
Vamos integrar cada termo separadamente:
- A integral de
em relação a é . - A integral de
é . - A integral de
é .
Então, juntando tudo:
Onde
é a constante de integração que precisamos descobrir.
Passo 4
Para encontrar o valor de
, usamos a condição inicial que nos foi dada:
. Isso significa que quando
,
. Vamos substituir esses valores na equação que encontramos:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Resposta
Portanto, a função que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial é: