Determine a função y = y(x), x pertence a R, tal que
d y/d x = x^3 - x + 1 e y(1) = 1

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que relaciona a derivada de em relação a com uma função de . A equação é:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo, especialmente com integrais, porque queremos encontrar a função que satisfaz essa equação diferencial e passa pelo ponto .

Passo 2

Primeiro, precisamos integrar a derivada para encontrar . Basicamente, a integral de em relação a nos dá a própria função mais uma constante de integração.

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. A integral de em relação a é .
  2. A integral de é .
  3. A integral de é .
Então, juntando tudo:
Onde é a constante de integração que precisamos descobrir.

Passo 4

Para encontrar o valor de , usamos a condição inicial que nos foi dada: . Isso significa que quando , . Vamos substituir esses valores na equação que encontramos:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:

Resposta

Portanto, a função que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial é:

Exercícios relacionados