Se v = y * ln(x^2 + z^4), ache v_zyz.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função e pede para encontrarmos a derivada mista . Isso envolve cálculo de derivadas parciais múltiplas. Vamos precisar usar as regras de derivação para funções logarítmicas e aplicar a derivada em etapas, primeiro em relação a e depois duas vezes em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a , que é . Como está multiplicando a função logarítmica, a derivada será simplesmente a função logarítmica, já que a derivada de em relação a é 1.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para obter . Precisamos derivar em relação a . Usamos a regra da cadeia: a derivada de é , onde .

Passo 4

Finalmente, vamos derivar novamente em relação a para encontrar . Temos que derivar em relação a . Usaremos a regra do quociente: se , então .
Aqui, e .
Primeiro, calculamos as derivadas:
Aplicando a regra do quociente:

Resposta

A derivada mista é:

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