Se
, ache
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função
e pede para encontrarmos a derivada mista
. Isso envolve cálculo de derivadas parciais múltiplas. Vamos precisar usar as regras de derivação para funções logarítmicas e aplicar a derivada em etapas, primeiro em relação a
e depois duas vezes em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
, que é
. Como
está multiplicando a função logarítmica, a derivada será simplesmente a função logarítmica, já que a derivada de
em relação a
é 1.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para obter
. Precisamos derivar
em relação a
. Usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
, onde
.
Passo 4
Finalmente, vamos derivar
novamente em relação a
para encontrar
. Temos que derivar
em relação a
. Usaremos a regra do quociente: se
, então
.
Aqui,
e
.
Primeiro, calculamos as derivadas:
Aplicando a regra do quociente:
Resposta
A derivada mista
é: