Determine mathscrLf(t) das funções abaixo:
f(t)=t e^2 t sen(4 t), t>0.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)=t,e^2tsin(4t), t>0
Este é um problema de transformada de Laplace envolvendo o fator t e a exponencial e^2t. Para resolver, vamos usar duas ferramentas:
  1. A transformada básica
mathscrLe^atsin(bt)(s)=b(s-a)^2+b^2,
válida para Re(s)>a.
2. A propriedade
mathscrLt,g(t)(s)=-ddsl[mathscrLg(t)(s)r]

Passo 2

Primeiro identifiquemos
g(t)=e^2tsin(4t)
Pela fórmula básica, sua transformada é
G(s)=mathscrLg(t)(s)=4(s-2)^2+4^2 =4(s-2)^2+16,
válida para Re(s)>2.

Passo 3

Agora usamos mathscrLt,g(t)(s)=-G'(s). Calculamos
G(s)=4l((s-2)^2+16r)^-1 Longrightarrow G'(s)=-4cdotl((s-2)^2+16r)^-2cdot2(s-2)
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mathscrLt,e^2tsin(4t)(s) =-G'(s) =4cdot2(s-2),l((s-2)^2+16r)^-2 =8(s-2)l((s-2)^2+16r)^2

Resposta

mathscrLt,e^2tsin(4t)(s) =8(s-2)l((s-2)^2+16r)^2, Re(s)>2

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